5.1. Interesujące zadanie ponadgimnazjalne

Na interesujące zadanie natrafiłem w poniższej broszurze:

https://omj.edu.pl/uploads/attachments/broszura_OMG_2012.pdf

Obóz Naukowy Olimpiady Matematycznej – poziom OMG 2012

Zad. 22. W kole o promieniu 18 wybrano 2267 punktów. Wykaż, że istnieje pierścień o promieniach 1 i 2, który zawiera nie mniej niż 18 spośród tych punktów.

Rozwiązanie

Jeśli punkt X jest przykryty przez pierścień o środku w punkcie O, to 1 ≤ OX ≤ 2. W takim razie punkt O jest przykryty przez pierścień o środku w punkcie X (rysunek poniżej).

Narysujmy zatem pierścienie o promieniach 1 i 2 w każdym z rozważanych 2267 punktów .

Wszystkie te pierścienie leżą wewnątrz kola o promieniu 20. Wystarczy wykazać, że pewien punkt tego koła jest przykryty przez co najmniej 18 pierścieni.

Przypuśćmy, że każdy punkt rozważanego kola o promieniu 20 jest przykryty przez co najwyżej 17 pierścieni. Wtedy suma pól wszystkich pierścieni nie przekracza pola koła o promieniu 20 pomnożonemu przez 17. innymi słowy – nie przekracza wartości liczby

(1) 20² ∙П∙17 = 6800 П.

Z drugiej strony bezpośrednio obliczamy, że suma pól pierścieni wynosi (2²-1) П∙2267 = 6801 П.

Otrzymana sprzeczność oznacza, że pewien punkt rozważanego koła jest pokryty przez co najmniej 18 pierścieni, więc rozwiązanie jest zakończone.

Tyle przeczytać można w broszurze.

Dla mnie nie było w pełni jasne jak uzasadnić wzór (1). Wielu moich kolegów matematyków, których prosiłem o pomoc, nie potrafiło klarownie odpowiedzieć na moją wątpliwość.

Sądzę więc, że rozświetlenie tego faktu warte jest przedstawienia.

Służy do tego następujące stwierdzenie:

Stwierdzenie. Niech A₁,…, A_n będą zbiorami mierzalnymi zawartymi w zbiorze mierzalnym F ⊂ R². Przypuśćmy, że każdy punkt F jest zawarty w co najwyżej M spośród zbiorów A_i. Wówczas.