Liczba π i zasada Cavalieriego

Czym jest liczba π wiadomo. Określa się ją jako stosunek długości obwodu dowolnego okręgu do jego średnicy. Pojawia się we wzorach związanych z kołem i kulą. Rzadko jednak występuje w pomiarach figur i brył wyciętych przez same proste i płaszczyzny.                                  W 1992 roku amerykański matematyk Howard Whitley Eves* otrzymal Nagrodę Pólyi za interesujący przykład zastosowania zasady Cavalieriego**. Zasada ta brzmi: Dwie bryły mają tę samą objętość, jeśli po przecięciu ich dowolnie wybraną płaszczyzną równoległą do ustalonej płaszczyzny otrzymujemy przekroje o tych samych polach.

Weźmy prostokąt PMNQ o boku PQ=2r. Dla ustalenia uwagi niech PQ będzie pionowo ustawioną osią obrotową kuli o promieniu r. Na prostej LPM odłóżmy odcinki AM i MB o długości równej r√π. Przez punkt N poprowadźmy prostą prostopadłą do płaszczyzny prostokąta PMNQ i odłóżmy na niej odcinki DN i NC również o długości r√π. Łącząc punkty A, B, C i D otrzymujemy czworościan. Udowodnimy, że poziome płaszczyzny tworzą przekroje – kuli i czworościanu– o równych polach.

Mamy EF=EH= r√π. Zatem, co widać na  rysunku, płaszczyzna równikowa kuli przecina czworościan ABCD  w kwadracie EFGH                       o polu π r2.

Sprawdźmy co się dzieje z polami przekrojów, jeżeli poziomą płaszczyznę przekroju podniesiemy o x.

Z twierdzenia Pitagorasa wynika, że promień przekroju kuli wyniesie √(r2-x2). Zatem pole przekroju kuli wyniesie π(r2-x2). Policzmy pole prostokąta KLWS.

Trójkąty KSD i EHD są podobne zatem KS/EH=(r+x)/r ⇒KS=(r+x)√π

Trójkąty AKL i AEF są podobne zatem KL/EF= (r-x)/r  ⇒ KL=(r-x)√π

Zatem pole prostokąta KLSW równa się π(r2-x2). C.b.d.o.

Można próbować trochę odbrązowić to osiągnięcie. Pola przekroju kuli zmieniały się wzdłuż osi pionowej x zgodnie z wyliczeniami jako funkcja π(r2-x2), której wykresem jest parabola.

                                Długości boków prostokątnych przekrojów czworościanu zmieniają się liniowo – jeden rośnie, drugi zaś maleje ( jak na wykresie poniżej). Iloczyn ich długości (r+x)(r-x) daje pole prostokąta otrzymanego w przekroju czworościanu czyli y=Sc(x)=r2-x2. A więc znowu wykres tej zależności to parabola.

Uwaga. Wykres parabol  z poprzedniej ilustracji ustawiliśmy pionowo, zgodnie ze zwyczajem, że oś x zmiennych niezależnych jest pozioma.

                               

Reszta jest prosta – wystarczy konstruując czworościan ABCD przeskalować wymiary poziome. Odcinkom AM=MB=CN=ND zamiast długości r nadać wartość r√π. I po robocie! No, tak. Ale to trzeba dostrzec i za to zbiera się nagrody.

Użyłem słowa dostrzec. Dokonano zatem oglądu? Obejrzano dwa przedmioty matematyczne i dostrzeżono relacje zachodzące między nimi. Takie poczynania są typowe dla nauk przyrodniczych. Czyżby więc ta kula i ten czworościan istniały – niezależnie od nas – w platońskim świecie matematyki do którego tylko zaglądamy?

 

*  Howard Eves, Two Surprising Theorems on Cavalieri Congruences, College Mathematics   

      Journal, no 2 (22),1991, str.123-124.

** Zasada Cavalieriego – metoda obliczania objętości brył przestrzennych, odkryta przez Archimedesa i opisana ponownie przez XVII-wiecznego matematyka włoskiego, Bonaventurę Cavalieriego. Obecnie uogólniona na wielowymiarową miarę Lebesgue’a oraz abstrakcyjne przestrzenie z miarą produktową.