Pseudohelisa, czyli prawie podwójna linia śrubowa

Kulą w Rn nazywamy zbiór wszystkich punktów P w Rn, których odległość od środka kuli P0 jest nie większa niż r, czyli  spełniających nierówność d(P, P0) ≤ r. Zajmiemy się liczeniem objętości Vn n-wymiarowej kuli (hiperkuli) o promieniu r. Powierzchnię kuli, czyli zbiór wszystkich punktów przestrzeni Rn równo odległych od P0,  czyli  spełniających równość  d(P, P0) = r, nazywamy sferą. Brzegiem n-wymiarowej kuli jest (n−1)-wymiarowa powierzchnia zwana sferą. Będziemy liczyli miarę tej powierzchni Sn. Sfera będąca zbiorem punktów brzegowych kuli jest gładką powierzchnią.

Uwaga. W topologii kulę definiujemy jako rozmaitość topologiczną, homeomorficzną z kulą geometryczną, zdefiniowaną jak powyżej (zob. str.xx).

Zatem kulą w R2 jest koło o mierze „powierzchni” (czyli długości obwodu koła) S2 = 2Пr oraz o „objętości” (czyli polu) V2 = Пr2. Oczywiście w  R3 terminy już się nie mylą: pole powierzchni jest już polem powierzchni, zaś objętość kuli jest już jej zwykłą objętością:                     S3 = 4Пr2 oraz V2 = 4/3∙Пr3.

Wprowadzając nieco sztuczne oznaczenia dla n=0 i n=1 otrzymamy ciągi wielkości:

S0 = 1            V0 = 1                           S1 = 2                   V1 = 2r                      – poziom П0

S2 = 2Пr        V2 = Пr2                       S3 = 4Пr2              V3 = 4/3∙Пr3                   – poziom П1

S4 = 2П2r3      V4 = 1/2∙П2r4                      S5 = 8/3∙П2r4       V5 = 8/15∙П2r5              – poziom П2

Już tutaj możemy zauważyć podstawowe zależności

Pierwsza jest dość „naturalna”*:

(1)               Vn = r/n∙Sn.

Zauważmy, że spełniona jest ona w szczególności dla n=1:  V1 = r/1∙S1.

* Jej naturalność oznacza, że jest to pojęcie wywodzące się ze starożytnego pojęcia całkowania (sumowania): pole kola to suma iloczynów długości małych łuków ΔS razy promień r podzielone przez 2, zaś objętość kuli to suma iloczynów pól małych płatów sfery ΔS razy promień r podzielone przez 3 (zobacz str.xx, mój sześcian!!)

Druga to spostrzeżenie Archimedesa, że pole powierzchni kuli S3 równa się polu walca opisanego na kuli: S3 = 2Пr ∙2r = 2Пr∙V1.  Własność ta przenosi się na wyższe wymiary i pozwala nam wygenerować ważną rekurencyjną zależność:

(2)                 Sn = 2Пr∙Vn-2

 

Oba wzory (1) i (2) w połączeniu z poniższymi

(3)             S0 = 1, V0 = 1,   S1 = 2,   V1 = 2r

pozwalają nam wygenerować wyrazy ciągów Sn i Vn dla wszystkich naturalnych n.

Mam nadzieję, że przestrzenna ilustracja rekurencyjnej zależności pobudzi wyobraźnię

Czytelnika. Na tym samym „poziomie” umieszczone są wielkości Sn i Vn mające mnożnik П w tej samej potędze k (czyli dla n=2k i n=2k+1).

Wyraźnie widać, że dwie pseudospirale  S0 V0 S2 V2  S4 V4 S6 V6  S8 V8 S10 V10  S12 V12 ….. oraz  S1 V1 S3 V3  S5 V5 S7 V7  S9 V9 S11 V11  S13 V13 ….. są obrócone wzajemnie o 180 stopni wokół ich wspólnej pionowej osi obrotu.

Spotykane niekiedy określenie helisy jako podwójna spirala jest z punktu widzenia matematyków w sposób oczywisty nieprawidłowe, jako że spirala jest krzywą dwuwymiarową, zaś linia śrubowa zwana helisą krzywą trójwymiarową. Niemniej nie jest to całkiem od rzeczy, gdyż łatwo znaleźć odpowiednie odwzorowanie między punktami tych różnych linii.

Aby nie być gołosłownym proponuję spojrzeć na  poniższy rysunek, który w inny sposób ilustruje ciąg rekurencyjnych zależności pomiędzy Vn i Sn. Widać podwójną spiralę.

Linię śrubową można traktować jako tor punktu materialnego obracającego się wokół osi OZ ruchem jednostajnie obrotowym z prędkością kątową ω i jednocześnie poruszającego się ruchem jednostajnym z prędkością υ w kierunku równoległym do osi OZ. Mamy zatem

  • x = a cosωt,         y = a sinωt,              oraz
  • z= υ(t+b).

Otrzymaliśmy równanie linii śrubowej leżącej na powierzchni walca: x2 + y2 = a2.

Linia śrubowa stożkowa leży na powierzchni stożka obrotowego. Przyjmijmy punkt A leżący na wybranej tworzącej stożka. Gdy punkt A będzie poruszał się po tej tworzącej ze stałą prędkością liniową i która jednocześnie będzie obracać się ze stałą prędkością kątową dookoła osi stożka, to tor punktu A wyznaczy linię śrubową stożkową, której rzut na płaszczyznę prostopadłą do osi obrotu daje rodzaj spirali

(6)    x = a(t+b) cosωt,  y = a(t+b) sinωt, oraz

(7)             z= υ(t+b).

Stąd      x2+y2 =a2 (t+b)2  oraz wstawiając z/υ=(t+b) otrzymamy równanie stożka:

x2+y2 =a2/υ2∙z2.

Równania (6) opisują rzut spirali stożkowej na płaszczyznę Oxy (zob. rys. powyżej), we współrzędnych biegunowych danej jako ρ = a(t+b). A tym właśnie wzorem mój profesor Karol Borsuk określał ogólną postać spirali Archimedesa!