7.1. Tarski i „Stomachion” – Archimedesa

Tarski i „Stomachion” – Archimedesa

 

Poniżej widać kwadrat złożony z (podzielony na) 14 części

 

Pytanie brzmi: jeśli rozrzucimy te części, to na ile różnych sposobów można na powrót złożyć z nich kwadrat?

Odpowiedź jest nieco zaskakująca. Na 17 152 = 536 ⋅32 sposobów. Podstawowych układów jest 536, ale każdy układ można obracać na 32 sposoby.

Takimi problemami bawił się w starożytności Archimedes. Czyżby był jednym z twórcą kombinatoryki?

Myślę, że tak. Dodałbym tylko, że również prekursorem teorii mnogości i topologii.

Z rozrzuconych (luźnych) części można składać różne figury o dowolnych kształtach.

Na przykład obraz słonia, jak na rysunku poniżej.

Ponieważ użyliśmy wszystkich 14 części można powiedzieć, że figura kwadratu i figura słonia są równoważne w sensie, który wyjaśnimy poniżej.

Przeskoczmy teraz do początku XX wieku, kiedy to teoria mnogości i topologia dojrzewały (nabierały kształtu). Pojawią się polskie nazwiska: Banach, Sierpiński, Tarski.

W 1924 roku Alfred Tarski napisał ciekawą pracę pt. O równoważności wielokątów.

Spróbuję przybliżyć część problemów zawartych w tej pracy.

Definicja. Dwa wielokąty nazywamy równoważnymi, jeżeli możemy je podzielić na jednakową skończoną ilość rozłącznych (mających co najwyżej wspólne punkty brzegowe) wielokątów odpowiednio przystających.

Przytoczmy jeszcze trzy zdania na ten temat.

Jeśli jeden wielokąt jest częścią drugiego wielokąta, to wielokąty te nie są równoważne.

Na to aby wielokąty były równoważne wystarcza by miały równe pola.

Czy kolo i wielokąt o równych polach są równoważne?

A teraz definicja przystawania:

Definicja 1. Zbiory punktów A i B przystają, co zapisujemy A≅B, jeżeli między ich punktami można ustalić odpowiedniość wzajemnie jednoznaczną, spełniającą warunek: o ile p i q są to dowolne punkty zbioru A, zaś p′ i q′ odpowiadające im punkty zbioru B, to odległości par punktów p i q oraz p′ i q′ są równe.

Definicja 2. Zbiory punktów A i B są równoważne, co zapisujemy A≡B, jeżeli istnieją zbiory A₁, A₂, … , A_n oraz B₁, B₂, … , B_n (gdzie n – liczba naturalna), spełniające warunki:

a) A = _i=1∑ⁱ⁼ⁿ A_k i B = _i=1∑ⁱ⁼ⁿ B_k

2. A_k ≅ B_k , gdy 1 ≤ k ≤ n
3. int A_k ∩ int A_m= ∅ oraz int B_k ∩ int B_m= ∅, gdy 1 ≤ k < m ≤ n.

A teraz kilka własności relacji równoważności zbiorów:

Twierdzenie 1. Jeżeli A ≅ B, to A ≡ B. W szczególności A ≡ A.

Twierdzenie 2. Jeżeli A ≡ B, to B ≡ A.

Oba twierdzenia wynikają bezpośrednie z definicji 2.

Twierdzenie 3. Jeżeli A ≡ B i B ≡ C, to A ≡ C.

Najpierw przykład, ułatwiający uchwycenie myśl dowodu. Zbiory A, B, C są kwadratami.

                                  A₁ = B₇ + B₈                                                           C₁ = B₁ + B₆ + B₇

                                   A₂ = B₃ + B₄ + B₅ + B₆                                   C₂ = B₂ + B₃

                                 A₃ = B₁ + B₂ + B₉                                                 C₃ = B₄

                                                                                                                             C₄ = B₅ + B₈ + B₉

Ponieważ A = A₁ + A₂ + A₃ = = _i=1∑ⁱ⁼⁹ B_i oraz C = C₁+ C₂ + C₃ + C₄ = _i=1∑ⁱ⁼⁹ B_i

oraz int B_i ∩ int B_j =∅ , gdy i ≠ j, zatem zbiory A i C są równoważne.

D o w ó d. W ogólnym przypadku rozumujemy następująco:

Wobec równoważności A i B oraz B i C istnieją zbiory punktów A₁, A₂, …, A_n i B₁, B₂, …, B_n oraz B′₁, B′₂, …, B′_m i C₁, C₂, …, C_m spełniające wszystkie warunki definicji 2.

Oznaczmy przez B_k,j zbiór tych wszystkich punktów, które należą zarazem do B_k oraz B′_j (nie wykluczmy przypadków, gdy niektóre ze zbiorów B_k,j będą puste, tj. nie posiadają ani jednego punktu).

UWAGA. W przykładzie na rysunkach powyżej zbiory B_i spełniają już rolę B_k,j.

Ponieważ każdy punkt zbioru B_k należy do jednego ze zbiorów B′_j (1 ≤ j ≤ m) i na odwrót, więc jak łatwo sprawdzić:

1. B_k = _i=1∑^i=m B_k,j, gdy 1 ≤ k ≤ n;

(2) B′_j = _i=1∑ⁱ⁼ⁿ B_k,j, gdy 1 ≤ j ≤ m.

Przy tym, w myśl warunku (c) definicji 2, mamy:

(3) int B_k,j ∩ int B_k1,j1 = ∅, gdy k ≠ k1, lub k=k1 i j ≠j1.

Zgodnie z warunkiem (b) definicji 2 figury A_k i B_k (1 ≤ k ≤ n) przystają. Z (1) i (3) oraz ogólnych własności przystawania wnioskujemy zatem z łatwością o możliwości podziału każdego ze zbiorów A_k na części A_k,1, A_k,2 , …, A_k,m czyniące zadość warunkom:

4.        A_k = _i=1∑^i=m A_k,j, gdy 1 ≤ k ≤ n;
5.        A_k,j ≅ B_k,j , gdy 1 ≤ k ≤ n i 1 ≤ j ≤ m;

(6) int B_k,j ∩ int B_k1,j1 =∅, gdy k ≠ k1, lub k=k1 i j ≠j1.

Podobnie z przystawania figur B′_j i C_j (1 ≤ j ≤ m), z (2) i (3) wynika możliwość podziału każdego ze zbiorów C_j na części C_1,j, C_2,j , …, C_n,j czyniące zadość warunkom:

7.       C_j = _k=1∑^k=n C_k,j, gdy 1 ≤ j ≤ m;
8.       C_k,j ≅ B_k,j , gdy 1 ≤ k ≤ n i 1 ≤ j ≤ m;

(9) int C_k,j ∩ int C_k1,j1 =∅, gdy k ≠ k1, lub k=k1 i j ≠j1.

Ponieważ zbiór A jest sumą zbiorów A₁, A₂, …, A_n , zaś zbiór C jest sumą zbiorów C₁, C₂, …, C_m w myśl warunku (a) definicji 2), więc z (4) i (7) wnosimy:

(10) A = _k=1∑^k=n _j=1∑^j=m A_k,j,

(11) C = _j=1∑^j=m _k=1∑^k=n C_k,j= _k=1∑^k=n _j=1∑^j=m C_k,j,

Zaś z (5) i (8) otrzymujemy natychmiast:

(12) A_k,j ≅ C_k,j , gdy 1 ≤ k ≤ n i 1 ≤ j ≤ m.

Wzory (10) i (11) wykazują, że każdy ze zbiorów A i C można podzielić na n⋅m części, które, wobec (6) i (9) , nie posiadają wspólnych punktów wewnętrznych oraz zgodnie z (12) , odpowiednio do siebie przystają. Zatem, w myśl definicji 2,

A ≡ C c.b.d.o. ��

Twierdzenia 1-3 wyrażają, że relacja równoważności zbiorów jest zwrotna, symetryczna i przechodnia.

Poniższe dwa zapytania należy traktować jako nieco żartobliwe:

Czy naprawdę możliwość ułożenia Kwadratu i Słonia z tych samych 14 części trzeba było dowodzić tak długo i tak skomplikowanie? I czy trzeba się dziwić, że tak wiele osób zniechęca się do matematyki?

Uwagi dotyczące notacji: Sumę dwóch zbiorów A i B Tarski zapisuje jako A+B, obecnie stosuje się raczej zapis A∪B. Sumę uogólniona zbiorów {A_i}_i∈I zapisuje jako ∑_i∈I A_i , obecnie stosuje się raczej zapis ∪_i∈I A_i