Pozycyjne potęgowe systemy liczbowe

System dziesiętny* dobrze znamy, ale system dwunastkowy także jest używany (i ma swoje tradycje): 12 – to tuzin, 60 to kopa, zaś 122 = 144 – to gros*), rok dzieli się na 12 miesięcy, doba na 2 razy po 12 godzin, godzina na 60 minut, minuta na 60 sekund. pełen obrót (kąt pełny) to 360 stopni, zobacz też angielskie miary**) i miary babilońskie***)

Podzielność liczby naturalnej przez 11 łatwo zbadać w obu tych systemach liczbowych.

W systemie dziesiętnym sumy co drugich cyfr muszą być sobie równe.

W systemie 12-stkowym wystarczy, że suma „cyfr” dzieli się przez 11 (pamiętając, że istnieją „nowe” cyfry „10” i „11”). Sprawdźmy to.

M= dcba = (dcba)10= d∙103 + c∙102 + b∙10 + a = d∙(11-1)3 + c∙(11-1)2 + b∙(11-1) + a

A zatem

M mod 11= (-d +c – b +a) mod 11

A więc (a+c =b+d)

L = cba = (cba)10= c∙102 + b∙10 + a =  c∙(11-1)2 + b∙(11-1) + a

L mod 11= (c – b +a) mod 11

A więc (b=c+a)

Stąd wynika kryterium podzielności: sumy co drugich cyfr muszą być sobie równe

Każdy matematyk, a tacy mają „naturalną” skłonność do uogólnień, zauważy zatem, że jest to też ogólniejsze kryterium na podzielność liczby o jeden większej niż podstawa systemu liczbowego, w którym jej podzielność badamy!

Np. podzielność przez 8 w systemie o podstawie 7:  8=(11)7 i mamy 1=1,

88 = (1∙72 + 5∙7 + 4)=(154)7  i mamy 1+4=5.

Rzeczywiście sumy co drugich cyfr są sobie równe.

A = (edcba)M = e∙ M4+d∙M3+c∙M2 + b∙M + a =

= e∙[(M+1)-1]4+d∙[(M+1)-1]3+c∙[(M+1)-1]2 + b∙[(M+1)-1] + a =

Czyli A mod (M+1) = (e-d+c-b+a) mod (M+1)

 

Również ogólnym kryterium na podzielność liczby o jeden mniejszej niż podstawa systemu liczbowego, w którym jej podzielność badamy jest warunek, że suma cyfr ma dzielić się przez tę liczbę.

A = (abcde)M = a∙ M4+b∙M3+c∙M2 + d∙M + e =

= a∙[(M-1)+1]4+b∙[(M-1)+1]3+c∙[(M-1)+1]2 + d∙[(M-1)+1] + e =

Czyli A mod (M-1) = (a+b+c+d+e) mod (M-1)

Czyli widać, że rzeczywiście A dzieli się przez (M-1), gdy suma cyfr dzieli się przez (M-1).

W systemie dziesiętnym znamy tę regułę dla liczby 9.

Oczywiście kryteria te dotyczą systemów pozycyjnych potęgowych.  Obok opisanych powyżej potęgowych systemów pozycyjnych istnieje bowiem cały szereg systemów pozycyjnych o innej konstrukcji. Są to np.: silniowy system pozycyjny, system resztowy, itp.