4.6. Funkcja τ (tau) Ramanujana
Funkcja τ (tau) Ramanujana
Nie cierpiał nosić krawatów, kapeluszy, skarpet, a nawet obuwia!
Ale czasami musiał…
Ramanujan to tajemniczy geniusz hinduski. Jego objawienia matematyczne pojawiały się – jak twierdził – za sprawą hinduskiej bogini, która mu je przekazywała podczas snu.
Co ciekawe wiele twierdzeń matematycznych podał bez dowodu, a dowody zostały później przeprowadzone przez innych matematyków.
W „Księdze liczb” Conwaya i Guya [1] w podrozdziale „Liczby podziałów i układów. Liczby Ramanujana” przeczytałem na str. 106, co następuje.
„Liczby podziałów można zdefiniować algebraicznie za pomocą następującego wzoru
* 1/[(1-x)(1-x2)(1-x3)(1-x4)…]=1+p(1) x +p(2) x2 + p(3) x3 + p(4) x4 +…
Liczby Ramanujana τ(n) są podobnie określone wzorem
** x[(1-x)(1-x2)(1-x3)(1-x4)…]24= τ (1) x + τ (2) x2 + τ (3) x3 + τ (4) x4 +…
Ramanujan odkrył wiele zadziwiających własności tych liczb. Dla przykładu,
τ (m) ∙ τ (n) = τ (m⋅ n) dla dowolnych liczb m i n bez wspólnych dzielników,
a τ(n) przystaje do sumy jedenastych potęg dzielników liczby n modulo 691.”
Koniec cytatu.
Zainteresowałem się liczbami Ramanujana. Co ciekawe, znałem już liczby pierwsze* Ramanujana (przed rokiem ułożyłem nawet program na ich generowanie!), ale to nie były te same liczby. Żadna z nich nie była liczbą pierwsza… Te były inne!
Przekształcając wzór (**) otrzymamy równoważny mu następujący:
(1-x)24(1-x2) 24(1-x3) 24 (1-x4) 24…=τ (1) + τ (2) x + τ (3) x2 + τ (4) x3 +…
Jest to tzw. tożsamość wielomianowa. Wymnażając wielomiany po lewej stronie tożsamości i porównując odpowiednio współczynniki liczbowe stojące przy tych samych potęgach zmiennej x po obu stronach otrzymamy wartości dla wszystkich szukanych τ(n).
Trudność polega na tym, że wielomiany po lewej stronie wydają się być skomplikowane i że czynników jest nieskończona ilość. Na szczęście jest to trudność pozorna.
Po wyliczeniach otrzymałem 6 początkowych wartości
τ (1) =1. τ (2) = -24, τ (3) = 252, τ (4) = -1472, τ (5) = 4830, τ (6) = -6048,
Przypuszczałem, że wszystkie parzyste „liczby R.” będą ujemne, zaś wszystkie nieparzyste będą dodatnie.
Coś jednak było nie tak! Wciąż liczyłem i wychodziło, że τ (7) jest ujemne!
Pomyślałem: Albo wciąż błądzę, albo ….
Zdesperowany napisałem list do największego autorytetu w Polsce w zakresie teorii liczb- profesora Andrzeja Schinzla*, który uświadomił mnie, gdzie mogę znaleźć informacje na ten temat.
Przede wszystkim dowiedziałem się od niego, że w Internecie niewiele znajdę na ten temat wpisując hasło „Liczby Ramanujana” i że szukać trzeba pod hasłem „Funkcja tau Ramanujana”!!
W witrynce:
https://en.wikipedia.org/wiki/Tau-function
pojawiło się 16 początkowych liczb. I rzeczywiście τ (7) było liczbą ujemną.
Postanowiłem napisać program, który policzyłby dużo więcej tych liczb.
Najpierw musiałem „nauczyć” komputer podnoszenia dwumianu (1-x) do potęgi 24.
Współczynniki występujące przy kolejnych potęgach zmiennej x są następujące:
(1-x)24=1-24x+276x2-2024x3+10626x4-42504x5+134596x6-346104x7+735471x8
=1307504x9+1964256x10-2496144x11+2704156x12-2496144x13+….+24x23-x24
Współczynniki te, co do bezwzględnej wartości, najpierw rosną osiągając największą wartość przy x12 (sięga, jak widać, prawie do 3. milionów!) , a potem w odwrotnej kolejności maleją.
Można to wyliczyć mnożąc (1-x) kolejno 23 krotnie przez (1-x). Trochę jest to jednak uciążliwe. Na szczęście ludzie już posiadają odpowiednią wiedzę na ten temat!
Wartości tych współczynników są określone za pomocą tzw, symbolu Newtona*.
Napisałem program w Turbo Pascalu 7 obliczający te liczby ( a właściwie – wartości funkcji τ(n) dla kolejnych n) .
Przyjrzyjmy się dokładniej moim rozumowaniom.
L(x)= (1-24x+272x2-2024x3+….+24x23-x24)
(1-24x2+276x4-2024x6+….+24x46-x48)
(1-24x3+276x6-2024x9+….+24x69-x72)
(1-24x4+276x8-2024x12+….+24x92-x96)
(1-24x5+276x10-2024x15+….+24x115-x120)
(1-24x6+276x12-2024x18+….+24x138-x144)
(1-24x7+276x14-2024x21+….+24x161-x168)
…………………………………………….
…………………………………………….
Jest to mnożenie nieskończonej ilości wielomianów (co wyrażają wykropkowane dwa ostatnie wiersze).. Ale dla obliczenia kolejnych współczynników docelowego, końcowego wielomianu L(x) wystarczy nam dużo mniej wielomianów!
Popatrzmy.
Aby wyliczyć wyraz stały czyli współczynnik przy x0 trzeba wymnożyć wszystkie jedynki. A zatem: τ (1) =1.
Aby wyliczyć współczynnik przy x trzeba wymnożyć -24 w pierwszym wielomianie z jedynkami we wszystkich pozostałych wielomianach.
Czyli τ (2) = -24.
Aby wyliczyć współczynnik przy x2 wypiszmy
(1-24x +276x2 +…)
(1 -24x2 +…).
Tylko te fragmenty dwóch pierwszych wielomianów biorą udział w wyliczance oraz wszystkie jedynki w pozostałych wielomianach.
Czyli τ (3) = 276-24=252
Aby wyliczyć współczynnik przy x3 wypiszmy
(1-24x +276x2-2024x3+…)
(1 -24x2 +…)
(1 -24x3+…).
Tylko te fragmenty trzech pierwszych wielomianów biorą udział w wyliczance oraz wszystkie jedynki w pozostałych wielomianach.
Czyli τ (4) = -2024+24∙24-24= -1472
Aby wyliczyć współczynnik przy x4 wypiszmy
(1-24x +276x2-2024x3+10626x4 +…)
(1 -24x2 +276x4 +…)
(1 -24x3 +…)
(1 -24x4+…).
Tylko te fragmenty czterech pierwszych wielomianów biorą udział w wyliczance oraz wszystkie jedynki w pozostałych wielomianach.
Czyli τ (5) =10626 -276∙24+276+24∙24 -24= 4830
Aby wyliczyć współczynnik przy x5 wypiszmy
(1-24x +276x2-2024x3+10626x4-42504x5 +…)
(1 -24x2 +276x4 +…)
(1 -24x3 +…)
(1 -24x4 +…)
(1 -24x5 +…).
Tylko te fragmenty pięciu pierwszych wielomianów biorą udział w wyliczance oraz wszystkie jedynki w pozostałych wielomianach.
Czyli τ (6) = -42504 -24 +2024∙24-27624+24∙24= -6049
Aby wyliczyć współczynnik przy x6 wypiszmy
(1-24x +276x2-2024x3+10626x4-42504x5+134596x6 +…)
(1 -24x2 +276x4 -2024x6 +…)
(1 -24x3 +276x6 +…)
(1 -24x4 +…)
(1 -24x5 +…)
(1 -24x6 +…).
Tylko te fragmenty sześciu pierwszych wielomianów biorą udział w wyliczance oraz wszystkie jedynki w pozostałych wielomianach.
Czyli
τ (7) = 134596-10626∙24+2024∙24-276∙24+24∙24+24∙24+276∙276-2024+
+276-24- 24∙24∙24= -16744
Widać, że rzeczywiście τ (7) jest ujemne.
Wyliczania dla pozostałych τ (n) robił już wyłącznie mój program. Mam nadzieję, że prawidłowo!
Zobaczmy zatem jak wygląda mój program.
Zdecydowałem, że obliczenia związane z mnożeniem kolejnych wielomianów będą wykonywane kolejno. Tzn. wielomian pierwszy (mnożna) pomnożony przez drugi wielomian (mnożnik) staje się nową mnożną, którą mnożymy przez wiersz trzeci (nowy mnożnik). Otrzymujemy nową mnożną, którą mnożymy przez wielomian czwarty (nowy mnożnik) itd.
Mnożenie przerywa się, gdy w kolejnym wielomianie są już tylko x w stopniu wyższym niż poszukiwany (oprócz jedynki!).
Otrzymałem następujące wyniki:
τ(1)=1
τ(2)= -24
τ(3)= 252
τ(4)= -1472
τ(5)= 4830
τ(6)= -6048
τ(7)= -16744
τ(8)= 84480
τ(9)= -113643
τ(10)= -115920
τ(11)= 534612
τ(12)= -370944
τ(13)= -577738
τ(14)= 401856
τ(15)=1217160
τ(16)= 987136
τ(17)= -6905934
τ(18)= 2727432
τ(19)= 10661420
τ(20)= -7109760
τ(21)= -4219488
τ(22)= -12830688
τ(23)= 18643272
τ(24)= 21288960
……………….
Hipotezy Ramanujana
W roku 1916 Ramanujan zauważył (ale nie potrafił udowodnić), że funkcja τ(n) posiada
następujące trzy właściwości:
I . τ(mn) = τ(m) τ(n) , jeśli największym wspólnym dzielnikiem m i n jest 1*
II. τ(pr+1) = τ(p) τ(pr) – p11 τ(pr-1) dla wszystkich liczb pierwszych p i r>0
III. i wreszcie
dla wszystkich liczb pierwszych p
*) Bardziej wyrafinowany sposób wyrażenia, że liczby m i n nie mają wspólnych dzielników
Pomocne będą przy liczeniu następujące dwie – łatwe do sprawdzenia – własności:
Jeśli N1 mod p = r1 i N2 mod p = r2, to
* (N1+N2) mod p = (r1+r2) mod p
** (N1∙N2) mod p = (r1∙r2) mod p
Dla zainteresowanych tematem poleczmy dwie witrynki:
http://pl.wikipedia.org/wiki/Kongruencja
http://pl.wikipedia.org/wiki/Arytmetyka_modularna#Przystawanie
Pierwsza własność nosi nazwę multiplikatywności i pozwala wyliczyć olbrzymią ilość wartości funkcji tau.
Pierwsze dwie (I i II) właściwości zostały udowodnione przez Mordell’a* (1917 ), a trzecią (III), zwaną hipotezą Ramanujana , udowodnił Deligne* w 1974 roku ( był to rok, w którym zacząłem pisać moją rozprawę doktorską – AA) jako konsekwencję jego dowodu hipotezy Weila* .
Najpierw spróbujmy skorzystać z własności drugiej. Jest to tzw wzór rekurencyjny.
Pozwoli to nam obliczyć wartości funkcji τ(n) dla n będących (r+1) -tą potęgą liczb pierwszych p, jeśli znamy wartości funkcji tau dla pr-1 i pr. Na szczęście wartość funkcji tau dla p0=1 (dla dowolnego p) dobrze znamy! Bowiem τ(1)=1. Czyli wystarczy znać τ(p) i możemy wystartować!
Niech p=2 i r=1
Zatem τ(4) = τ(22) = τ(2) τ(2)-211 τ(1)= (-24)(-24) -2048∙1= – 1472
Niech p=2 i r=2
Zatem τ(8) = τ(23) = τ(2) τ(22)-211 τ(2)= (-24)(-1472)-2048 (-24) = 84480
Niech p=2 i r=3
Zatem τ(16) = τ(24) = τ(2) τ(23)-211 τ(22)= (-24)(84480)-2048 (-1472) =
= – 987136
Niech p=2 i r=4
Zatem τ(32) = τ(25) = τ(2) τ(24)-211 τ(23)= (-24)(-987136)-2048 (-84480) =
= 23691264+173015040 = 196706304
Niech p=2 i r=5
Zatem τ(64) = τ(26) = τ(2) τ(25)-211 τ(24)= (-24)(196706304) – 2048(- 987136)=
= tu mój mały kalkulator padł!!
Niech p=3 i r=1
Zatem τ(9) = τ(32) = τ(3) τ(3)-311 τ(1)= 252(252) -177147∙1= -113643
Niech p=3 i r=2
Zatem τ(27) = τ(33) = τ(3) τ(32)-311 τ(3)= 252(-113643)-177147 (252) =-73279080
Niech p=3 i r=3
Zatem τ(81) = τ(34) = τ(3) τ(33)-311 τ(32)= 252(-73279080)-177147 (-113643) =
=????????
Niech p=5 i r=1
Zatem τ(25) = τ(52) = τ(5) τ(5)-511 τ(1)= ??
Niech p=5 i r=2
Zatem τ(125) = τ(53) = τ(5) τ(52)-511 τ(5)= ??
Niech p=7 i r=1
Zatem τ(49) = τ(72) = τ(7) τ(7)-711 τ(1) = 16744 16744 -5764801 343 =
49(2392 2392- 5764801 7) = 49 ( 5721664 -40353607) = -(50-1)∙34631943=
= 34631943 -3463194300/2 = – 1731597150+34631943 = –1696965207
Niech p=7 i r=2
Zatem τ(343) = τ(73) = τ(7) τ(72)-711 τ(7) =
= – 16744(-1696965207) -5764801∙343 (-16744) =
Niech p=11 i r=1
Zatem τ(121) = τ(112) = τ(11) τ(11)-1111 τ(1) =
= 534612∙534612 -14641∙14641∙121∙11=
A teraz wykorzystamy najprostszą własność:
τ(6)= τ(2)∙τ(3)
τ(10)= τ(2)τ(5)
τ(12)= τ(3)τ(4)
τ(14)= τ(2) τ(7)
τ(15)= τ(3)∙τ(5)
τ(18)= τ(2)τ(9)
τ(20)= τ(4)τ(5)
τ(21)=τ(3)τ(7)
τ(22)= τ(2)τ(11)
τ(24)= τ(3)τ(8)
τ(26)=τ(2)τ(13)
τ(28)= τ(4)τ(7)
τ(30)=τ(2) τ(15)= τ(3) τ(10)= τ(5) τ(6)=
τ(33)= τ(3)τ(11)
τ(34)= τ(2)τ(17)
τ(35)= τ(5)τ(7)
τ(36)= τ(4)τ(9)
τ(38)= τ(2)τ(19)
τ(39)=τ(3)τ(13)
τ(40)= τ(5)τ(8)
τ(42)= τ(2) τ(21)
τ(44)= τ(4)τ(11)
τ(45)= τ(5)τ(9)
τ(46)= τ(2)τ(23)
τ(48)= τ(3)τ(16)
τ(50)= τ(2)τ(25)
τ(51)= τ(3)τ(17)
τ(52)= τ(4)τ(13)
τ(54)= τ(2) τ(27)
τ(55)= τ(5)τ(11)
τ(56)= τ(7)τ(8)
τ(57)= τ(3)τ(19)
τ(58)=τ(2)τ(29)
τ(60)= τ(3) τ(20)= τ(4) τ(15)=τ(5)τ(12)
τ(62)= τ(2)τ(31)
τ(63)= τ(7)τ(9)
τ(65)= τ(5)τ(13)
τ(66)= τ(2)τ(33)= τ(3) τ(22)= τ(6) τ(11)
τ(68)= τ(4)τ(17)
τ(69)= τ(3)τ(23)
τ(70)= τ(2)τ(35)= τ(5) τ(14)=τ(7) τ(10)
τ(72)= τ(8)τ(9)
τ(74)= τ(2) τ(37)
τ(75)= τ(3)τ(25)
τ(76)= τ(4)τ(19)
τ(77)= τ(7)τ(11)
τ(78)= τ(2)τ(39) =τ(3) τ(26)= τ(6) τ(13)
τ(80)= τ(5)τ(16)
τ(82)= τ(2)τ(41)
τ(84)= τ(3) τ(28)=τ(4) τ(21)=τ(7)τ(12)
τ(85)= τ(5)τ(19)
τ(86)= τ(2)τ(43)
τ(87)= τ(3)τ(29)
τ(88)= τ(8)τ(11)
τ(90)= τ(2)τ(45)= τ(5) τ(18)= τ(9) τ(10)
τ(91)= τ(7)τ(13)
τ(92)= τ(4)τ(23)
τ(93)= τ(3)τ(31)
τ(94)= τ(2)τ(47)
τ(95)= τ(5)τ(19)
τ(96)= τ(3)τ(32)
τ(98)=τ(2)τ(49)
τ(99)= τ(9)τ(11)
τ(100)= τ(4)τ(25)
τ(102)= τ(2) τ(51)=τ(3)τ(34)= τ(6) τ(17)
τ(104)= τ(8)τ(13)
τ(105)= τ(3) τ(35)=τ(5)τ(21)= τ(7) τ(15)
τ(106)= τ(2)τ(53)
τ(108)= τ(4)τ(27)
τ(110)= τ(10)τ(11)
τ(111)= τ(3)τ(37)
τ(112)= τ(7)τ(16)
τ(114)= τ(2) τ(57)= τ(3) τ(38)=τ(6)τ(19)
τ(115)= τ(5) τ(23)
τ(116)= τ(4)τ(29)
τ(117)= τ(9)τ(13)
τ(118)= τ(2) τ(59)
τ(120)= τ(3) τ(40)=τ(5)τ(24)= τ(8) τ(15)
τ(122)= τ(2)τ(61)
τ(123)= τ(3)τ(41)
τ(124)= τ(4)τ(31)
τ(126)= τ(2) τ(63)=τ(7)τ(18)= τ(9) τ(14)
τ(129)= τ(3)τ(43)
τ(130)= τ(2) τ(65)=τ(5)τ(26)= τ(10) τ(13)
Sprawdzimy czy
(111) mod 691 = 1 mod 691 ? 111=1
Sprawdzimy czy
(111+211) mod 691 = -24 mod 691 ? 211=2048
L= 2049=2∙691+667; P=-24= -1∙691+667
Czyli O.K.
Sprawdzimy czy
(111+311) mod 691 = 252 mod 691 ? 311=177147
L=177148 mod 691 = 252 P=252 311 mod 691= 251
Czyli O.K.
Sprawdzimy czy
(111+211+411) mod 691 = -1472 mod 691 ? 411=2048∙2048 =4194304
L=1+2048+4194304=4196353=6072∙691+601
P= =3
Sprawdzimy czy
(111+511) mod 691 = 4830 mod 691 ?
15625 3125= 511 mod 691=22 691+423)(4 691+361) = 220 691 + =152703= 152020 +
P= 683+1 L=684
Czyli O.K.
Sprawdzimy czy
(111+211+311+611) mod 691 = -6048 mod 691 ?
Sprawdzimy czy
(111+711) mod 691 = -16744 mod 691 ?
Sprawdzimy czy
(111+211+411+811) mod 691 = 84480 mod 691 ?
Sprawdzimy czy
(111+311+911) mod 691 = -113643 mod 691 ?
Sprawdzimy czy
(111+211+511+1011) mod 691 = -115920 mod 691 ?
Sprawdzimy czy
(111+1111) mod 691 = 534612 mod 691 ?
Sprawdzimy czy
(111+311+511+611+1211) mod 691 = -370944 mod 691 ?
Sprawdzimy czy
(111+1311) mod 691 = -577738 mod 691 ?
Sprawdzimy czy
(111+211+711+1411) mod 691 = 401856 mod 691 ?
Sprawdzimy czy
(111+311+511+1511) mod 691 = 1217160 mod 691 ? 1511= 311∙511
Najpierw policzmy prawą stronę. 1511mod 691=311 mod 691∙511 mod 691=251 683=
=171368+65 == 65
P = 1217160 = 1761∙691 + 309
Czyli P mod 691 = 309
A teraz policzmy lewą stronę.
L = 1+ 81∙ 81∙27 + 625∙625∙125 +225∙225∙225∙225∙225∙15 =
= 1+177147 + 390625∙125 + 15625∙15625∙(225∙15)
Pomocne będą przy liczeniu następujące dwie – łatwe do sprawdzenia – własności:
Jeśli N1 mod p = r1 i N2 mod p = r2, to
* (N1+N2) mod p = (r1+r2) mod p
** (N1∙N2) mod p = (r1∙r2) mod p
L mod 691= [1+ (256∙691+251)+(565∙691+210) ∙125 +
+(22∙691+423) (22∙691+423) (4∙691+611)] mod 691=
=(1+251+210∙125+423∙423∙611) mod 691=
= [1 +251+ 37∙691+683+(258∙691+651) ∙611] mod 691=
= (252+683+651∙611) mod 691=(935+575∙691+436) mod 691=
=1371 mod 691= 1∙691+680?????????? L=309=309=P
I tak dalej…
Sprawdźmy własność 1. dla n=9
Mamy 211=2048 311=177147 311 mod 2048=1019 911=177147∙177147
σ11(9) =111+311+911=111+311+311∙ 311
σ11(9) mod 2048= (1+1019+1019∙1019) mod 2048=
1020+50∙2048+(1038361- 507∙2048) mod 2049=
=1020+25=1045
τ(9)= -113643=-114688 +1045= -56 2048+ 1045
τ(9) mod 2048 =1045