5.2. Całka Riemanna – Darboux

 

Całka Riemanna – konstrukcja (w analizie matematycznej) przedstawiona przez niemieckiego matematyka Bernharda Riemanna w 1854 roku w jego pracy habilitacyjnej na Uniwersytecie w Getyndze pt. Ueber die Darstellbarkeit einer Funktion durch eine trigonometrische Reihe („O reprezentowalności funkcji przez szereg trygonometryczny”) jako pierwsza ścisła definicja całki.

Istnieje również całkowicie równoważna całce Riemanna konstrukcja całki Darboux, pochodząca od francuskiego matematyka Gastona Darboux, który wprowadził ją w swojej pracy z 1870 roku zatytułowanej Sur les équations aux dérivées partielles du second ordre („O równaniach różniczkowych cząstkowych drugiego rzędu”) i uzasadnił jej równoważność z całką Riemanna w 1875 roku w pracy pt. Mémoire sur la theorie des fonctions discontinues („Rozprawa o teorii funkcji nieciągłych”).

 

Podział przedziału

Podziałem P(n) przedziału [a, b] nazywa się każdy (ściśle) rosnący ciąg skończony (p0,p1,…, pn) elementów nazywanych punktami podziału tego przedziału, w którym pierwszy i ostatni wyraz ciągu wskazują odpowiednio początek i koniec przedziału, tzn.                               a=p0< p1< … <pn-1<pn=b. Poniżej przykład podziału przedziału [a, b] dla n=4:

W każdym z podprzedziałów Pi = [pi-1, pi] o długości IPiI= pi – pi-1 dla i=1,…,n wybieramy dowolnie punkt „pośredni” qi ∈ [pi-1, pi]. Jeżeli funkcja f jest ograniczona na przedziale [a, b], to istnieje skończona wartość f(qi). Teraz już możemy wprowadzić pojęcie n-tej sumy cząstkowej

Z kolei będziemy starali się zagęścić podział przedziału [a, b] dzieląc każdy z przedziałów Pi na drobniejsze części.

Równoważnie zamiast rozdrobnień (zagęszczeń) podziałów można rozpatrywać tzw. „ciągi normalne” podziałów. Średnicą podziału P(k ) nazywa się największą długość przedziału,         diam P(k) =max i=1,2,…,n IPiI.  

Ciąg podziałów {P(k)}k=1,2,… nazywa się normalnym, jeżeli diam P(k)→0 dla k→∞. Warto dodać, że i przy metodzie zagęszczeń też musimy przestrzegać reguły tworzenia „ciągu normalnego”. 

Najprostszym sposobem zazwyczaj stosowanym w technice inżynierskiej jest wprowadzenie podziału regularnego przyjmując zasadę, że IPiI= pi – pi-1 = (b-a)/n dla i=1,…,n.

Można już podać definicję całki Riemanna:

Niech dana będzie funkcja ograniczona f na przedziale [a, b]. f : [ a , b ] → R . Funkcję f nazywa się całkowalną w sensie Riemanna lub krótko R-całkowalną, jeśli dla dowolnego ciągu normalnego P(n) podziałów przedziału [a, b] istnieje (niezależna od wyboru punktów pośrednich qi) granica

nazywana wtedy całką Riemanna tej funkcji. Oznaczenie występujące po lewej stronie wprowadzone zostało przez samego Leibniza. Dowodzi się, że dla każdej funkcji ciągłej f na [a, b] całka Riemanna istnieje.

Wspomniana już konstrukcja całki Darboux jest równoważna z całką Riemanna. Różni się tym, że w przedziale [pi-1, pi] podziału P(n) nie wybieramy punktu pośredniego qi , ale wartość największą w tym przedziale Mi  oraz najmniejszą mi , gdzie

 

To pozwala skonstruować dwie sumy częściowe – górną Sg(n) i dolną SD(n):

Zachodzi relacja Sd(n)≤Sg(n). Jeżeli przy n→∞ istnieją obie granice Sd(n) i Sg(n) oraz są sobie równe, to tę wspólną wartość nazywamy całką Darboux i oznaczamy tak jak całkę Riemanna. Dowodzi się, że dla każdej funkcji ciągłej f na [a, b] całka Darboux istnieje.

Poniżej  kolejne rysunki pokazują jak zagęszczając podział P(n) zielone pole reprezentujące dolną sumę Darboux rośnie, zaś szare pole reprezentujące różnicę                     Sg(n) – Sd(n) maleje.

W granicy przy n→∞ zielone pole ma wypełnić całkowicie powierzchnię (zbiór punktów) pod krzywą, zaś pole szare ma zniknąć (wykres funkcji na rysunkach jest bowiem ciągły).   

                        Powyżej podział dla n=4.          

Widać powyżej, że podział zagęszczający powoduje, że pole zielone rośnie, zaś szare maleje.

   Powyżej podział zagęszczający daje n=6

Powyżej podział zagęszczający daje n=11.

Ciąg podziałów zagęszczający tym się różni od zwykłego innego, że w podziale P(k+1) zachowujemy punkty podziału z poprzedniego podziału P(k). W zwykłym podziale nie jest to konieczne, pamiętać jednak trzeba, aby średnice  podziałów dążyły do zera przy n→∞.

 

Własności całek 

1) Jeśli dowolna funkcja f: [a, b]→ℝ, (a≤b), jest całkowalna w sensie Riemanna, to przy

zachodzi

       dodatkowo, jeżeli oznaczymy przez Kf = max {mf , Mf}, to

 

2) Całka Riemanna jest operatorem liniowym na przestrzeni funkcji całkowalnych w sensie Riemanna: jeżeli funkcje f i g są całkowalne w sensie Riemanna oraz c,d ∈ℝ, to funkcja cf+dg również jest całkowalna w sensie Riemanna i zachodzi:

3) Jeżeli f jest funkcją całkowalną w sensie Riemanna na przedziale [a, b], to dla każdego x ∈ [a, b] jest ona całkowalna w sensie Riemanna na przedziale [a, x], a funkcja

      F: [a, b]→ℝ określona wzorem

jest ciągła na [a, b] i różniczkowalna w każdym punkcie przedziału x ∈ (a, b). Udowodnimy, że zachodzi F′(x) = f(x).

4) Twierdzenie o wartości średniej całkowej

Jeżeli funkcja f jest ograniczona: m ≤ f(x) ≤ M i całkowalna, to istnieje taka liczba s ∈ [m, M], że:

Na rysunku widać jak pole pod całką jest zrównoważone przez pole prostokąta [0,s]×[a,b]

W przypadku gdy funkcja f jest ciągła, tezę twierdzenia można wzmocnić następująco:

 

istnieje punkt  c ∈ [a, b] taki,że:

Intuicyjnie jest jasne, że ze względu na całkę, właśnie  f(c) jest „średnią” wartością funkcji f w przedziale [ a ,   b ].

 

Z fizycznego punktu widzenia twierdzenie o wartości średniej odpowiada możliwości wyrównania (niwelowania) terenu (np. pod budowę domu).