Dlaczego liczby pierwsze są coraz rzadsze?

            Najpierw przypomnijmy sobie co to jest „n!”.

Silnią liczby naturalnej n (w notacji matematycznej: n!, co czytamy „n silnia”) nazywamy liczbę równą iloczynowi wszystkich liczb naturalnych nie większych niż n.

Mamy zatem:   1!=1,  2!=1·2 = 2,  3!= 1· 2· 3 = 6,   4! = 1· 2· 3· 4 = 24,… itd..

Widać też, że  5! = 4!·5 = 24·5 = 120,    6! = 5!·6 = 120·6 = 720, … itd.

Czyli    (n+1)! = n! (n+1)

Dla dowolnej liczby naturalnej n rozpatrzmy liczby:

n!+1, n!+2, n!+3,    …  ,n!+(n-1), n!+n, n!+(n+1).

O liczbie n!+1 nic nie można powiedzieć, może być liczbą pierwszą lub nie być.

To samo dotyczy liczby     n!+(n+1)  i kolejnych dalszych…

Natomiast łatwo wykazać, że  liczby

n!+2, n!+3,    …  , n!+(n-1), n!+n

nie mogą być liczbami pierwszymi.

Weźmy bowiem dowolną liczbę naturalną k, zawartą między 2 i n:

Czyli    2 ≤ k ≤ n.

Mamy wtedy

n!+k = k (1+n!/k)

Zatem liczba będąca iloczynem tych dwóch liczb naturalnych nie może być liczbą pierwszą.  Co było do okazania (c. b. d. o.).

Gdzie zatem są te liczby pierwsze? To proste. Szukać trzeba między liczbą (n!+n) a liczbą (n+1)! Mają tam naprawdę bardzo dużo miejsca, aby się pojawić!!

Przyjrzyjmy się szczegółowo.

2!=2, stąd 2!+1=3 (l.p), ale 2!+2 =4 – nie ma prawa być liczbą pierwszą i nie jest!

3!=6, stąd 3!+1=7 (l.p.), ale 3!+2=8, 3!+3=9 nie mają prawa być pierwszymi

4! =24, stąd 4!+1=25=5⋅5, ale 4!+2=26, 4!+3=27, 4!+4=28 nie mogły być pierwszymi

5! =120, stąd 5!+1=121=11⋅11, ale 5!+2=122, 5!+3=123, 5!+4=124, 5!+5=125 nie są l. p.

Nota bene: między liczbami od 126 do 720 może być (i jest!) wiele liczb pierwszych (oczywiście  nieparzystych)

6!=720. stąd 6!+1=721=7⋅103, ale znowu 6!+2=722, 6!+3=723, 6!+4=724, 6!+5=725, 6!+6=726 nie mogą być pierwsze

7!=5040, stąd 7!+1=5041=71⋅71, ale 7!+2=5042, 7!+3=5043, 7!+4=5044, 7!+5=5045, 7!+6=5046, 7!+7=5047 nie mogą być pierwsze.

Nota bene: między liczbami od 5048 do 8!= 40384 może być wiele liczb pierwszych (oczywiście  nieparzystych), wśród nich wiele „konstelacji” – m. in. bliźniacze, trojacze, czworacze, itp.