Układy równowagi  (n+1) wektorów (sił) jednostkowych (lub o równych długościach)  w Rn   a warunek konieczny dla punktu Fermata-Torricelliego-Steinera  w sympleksach w przestrzeni Rn

 

DEFINICJA Punkt Fermata (punkt Torricellego) to punkt w trójkącie, którego suma odległości od wierzchołków trójkąta jest najmniejsza z możliwych.

Przed dwudziestu laty jako uczestnik seminarium na temat geometrii zostałem zachęcony  przez prowadzącego je dr hab. K. Witczyńskiego do poszukania konstrukcji punktu Fermata dla dowolnego czworościanu w R3, jako że konstrukcja dla trójkąta w R2 jest dobrze znana. Znalazłem wtedy pracę kogoś ze Szkocji, gdzie podany był warunek konieczny na punkt Fermata w R2 dający się łatwo uogólnić na dowolny wymiar: ∇F(x) =  grad F = 0.

Prześledźmy to.

Niech zbiór ZW ={P1, P2, …, Pi,…….., Pn, Pn+1} będzie zbiorem (n+1) wierzchołków sympleksu  w Rn.  Rozpatrzmy  funkcję

zaś punkt P to dowolny punkt powłoki wypukłej ( można też przyjąć, że punkt P jest dowolnym punktem w Rn) zbioru ZW.

Szukamy takiego punktu P = Po , który zrealizuje minimum lokalne funkcji F na powłoce wypukłej  zbioru ZW. 

W tym celu policzmy gradient funkcji  F i przyrównajmy go do zera.

Pochodna cząstkowa po zmiennej xk będąca k-tą składową gradientu funkcji  F wynosi:

dla wszystkich k (od 1 do n ).

Stosując symbolikę wektorową można wynik przedstawić dużo krócej:

Co to oznacza?

Oznacza to, że punkt Fermata ma mieć własność opisaną powyższym równaniem, a mówi ona, że suma wersorów wektorów łączących poszukiwany punkt Fermata, nazwijmy go Po, z kolejnymi wierzchołkami  Pi  sympleksu  równa się zero.

Punkt Fermata Po  można zatem nazwać punktem równowagi tych wersorów!

Dodajmy, że ponieważ funkcja F (·) jest ściśle wypukła i określona jest na zbiorze wypukłym i domkniętym, zatem istnieje tylko jeden (w Rn dla n>1) punkt Po, w którym funkcja F(·) osiąga minimum.

 Jednocześnie wiadomo ( choćby z mechaniki), że  aby wersory te były w równowadze suma ich rzutów na dowolną prostą (dowolny wektor) w Rn powinna się zerować.

Oznaczając kąty między tymi wersorami wi i wj przez αij  i rzutując je wszystkie na kierunek wersora wi  otrzymujemy równanie:

Podobny wynik uzyskamy rzutując na każdy kolejny kierunek wersora wi, gdzie

  i ∈ {1,2,…,n+1}.

Równocześnie zaprzągłem komputer do pomocy. Jako ciekawostkę uznać trzeba fakt, iż to komputerowy program wyliczył punkt Po dla różnych  czworościanów w R3 ; z kolei zmuszony  do obliczenia cosinusów kątów między ustalonym wektorem wi a pozostałymi wektorami unaocznił, że ich suma jest stała i wynosi „-1”. Czyli spełnia warunki  równowagi!

W przestrzeni R3, jak wynika z prostych obliczeń poniżej, kąty między wersorami  w1, w2, w3, i w4 są tylko trzy różne! Oznacza to podział powierzchni jednostkowej (r = 1) kuli o środku w Po na cztery jednakowe (przystające) płaty o mierze każdej z tych powierzchni równej π.

Zgrabny tego dowód  w języku trygonometrii sferycznej był łaskaw wykonać dla mnie

prof. dr hab. Jerzy Browkin z UW.

List Browkina do mnie nadszedł w momencie kiedy już zinterpretowałem dowodzoną tezę w języku mechaniki.

Równanie bowiem

cos A + cos B + cos C = -1,

to równanie równowagi czterech wersorów zaczepionych w jednym punkcie w ℝ3.

Kąty A, B, C to są kąty między dowolnym wyróżnionym wersorem i pozostałym które mają go zrównoważyć. Na przykład, w czworościanie foremnym są to wektory łączące środek czworościanu z jego wierzchołkami. Wówczas  zachodzi równość

cos A = cos B = cos C= -1/3.