Przestrzeń liniowa (wektorowa) nad ciałem K 

DEFINICJA Niech ( K , + , ⋅ )  będzie ciałem liczbowym (jakim są np. liczby rzeczywiste ℝ czy liczby zespolone ℂ), którego elementy nazywane będą skalarami, a ono samo – ciałem skalarów.              Przestrzenią liniową bądź wektorową nad ciałem K  nazywa się zbiór  V  z dwoma działaniami dwuargumentowymi:

  • dodawaniem wektorów:   V × V → V  oznaczanym v + w, gdzie  v, w ∈ V oraz
  • mnożeniem przez skalar:   K × V → V    oznaczanym α v, gdzie α∈K  oraz  v ∈ V,

które spełniają poniższe aksjomaty. Pierwsze cztery czynią z wektorów grupę abelową  ze względu na dodawanie, kolejne dwa są prawami rozdzielności.                                                                                                                    

      1) Dodawanie wektorów jest łączne:

                Dla dowolnych u , v , w ∈ V  zachodzi u + ( v + w ) = (u+v)+w

     2) Dodawanie wektorów jest przemienne:                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                          Dla dowolnych v , w ∈ V  jest   w+v=w+v                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                       

3) Dodawanie wektorów ma element neutralny: 

         Istnieje taki element 0 ∈ V, nazywany wektorem zerowym, że v+0=v.                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                  

4) Dodawanie wektorów ma elementy przeciwne: 

   Dla każdego v ∈ V  istnieje element w ∈ V  nazywany wektorem przeciwnym do v  taki, że v+w=0.                                                                                                                                                                                                                                                            

 

5) Mnożenie przez skalar jest rozdzielne względem dodawania wektorów:

     Dla każdego α ∈ K oraz v, w ∈ V  jest       α ( v + w ) = α v + α w.                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                     

 

6) Mnożenie przez wektor jest rozdzielne względem dodawania skalarów:

     Dla każdych  α, β∈K  oraz v∈V  zachodzi  ( α + β ) v = αv +βv ∈ V.                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                       

 

7) Mnożenie przez skalar jest zgodne z mnożeniem skalarów:

                  Dla dowolnych α, β ∈ K  oraz   v ∈ V  jest  α ( β v ) = ( aβ ) v.                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                            

 

8) Mnożenie przez skalar ma element neutralny:

    Dla dowolnego  v ∈ V jest 1v=v, gdzie 1 oznacza element neutralny mnożenia w ciele K.

Uwagi

Formalnie przestrzeń liniowa nad ciałem K  jest strukturą matematyczną                                         (V, K, +, ⋅ , +, ∘) , w której:

             a)                         ( V , + )  jest grupą abelową (aksjomaty 1-4)

             b)                        ( K , + , ⋅ )  jest ciałem,

wyposażoną w działanie  ∘: K × V → V  (wyżej nieoznaczane) spełniające aksjomaty 5-8.

Wyżej przedstawione aksjomaty stanowią definicję modułu (nad pierścieniem), w ten sposób przestrzeń liniową można zwięźle zdefiniować jako moduł nad ciałem (gdyż każde ciało jest pierścieniem; co więcej, wspomniany moduł jest wolny).

Niech V będzie przestrzenią liniową i niech A⊂V, B⊂V, v∈V i α∈K. Będziemy stosować następujące  oznaczenia:     


W szczególności (dla α= –1) –A oznacza zbiór wektorów przeciwnych do elementów A.

Uwaga: przy powyższych oznaczeniach bardzo często 2A≠A+A (patrz przykłady poniżej).

Zilustrujmy graficznie te działania. Mamy zbiór A i wektor v.

Po dodaniu do każdego elementu-wektora a∈A wektora v otrzymujemy zbiór A+v=v+A widoczny poniżej:

Mnożąc każdy element zbioru A przez skalar α∈K otrzymamy (poniżej) zbiór αA:

 (przyjęliśmy α=1,7, wektor v pozostał bez zmian)

 

Podzbiór W⊂V nazywamy podprzestrzenią w V, jeżeli W jest przestrzenią liniową (oczywiście względem tych samych operacji). Łatwo sprawdzić, że tak jest wtedy i tylko wtedy, gdy 0∈W oraz  αW+βW ⊂ W dla dowolnych skalarów α i β.

Podzbiór U⊂V nazywamy wypukłym, jeżeli                                                                           tU+(1–t)U ⊂ U         (dla 0≤t≤1).                                                                                                  Innymi słowy, jeżeli v,w ∈ U oraz t ∈ [0, 1],   to        tv+(1–t)w ∈ U

Podzbiór A⊂V nazywamy zbalansowanym, jeżeli  αA⊂A  dla dowolnego α∈K takiego, że α≤1.

Mówimy, że przestrzeń liniowa V ma wymiar n (piszemy dim V=n), jeżeli V ma bazę {v1,…,vn}.         Oznacza to, że każdy wektor v∈V ma dokładnie jedno przedstawienie postaci                         v= α1v1+…+αnvn          (αi ∈ K).  O układzie wektorów {v1,…,vn} mówimy wtedy, że jest niezależny liniowo. Jeżeli dim X = n dla pewnego n, to mówimy, że przestrzeń V jest skończenie wymiarowa. Dla V={0} mamy dim V=0.

Przykłady.

Wyżej już powiedzieliśmy, że bardzo często 2A≠A+A,  Można powiedzieć więcej:                     W przestrzeni liniowej zawsze zachodzi:   2A⊂A+A.

Przykład 1. Niech A⊂R. Niech A=[-2, 2], wówczas 2A=A+A=[-4,4]. Oczywiście A jest zbiorem zbalansowanym (zgodnie z podaną wyżej definicją).

Niech A⊂Rn (n – dowolna ustalona liczba naturalna) będzie dowolnym odcinkiem o środku w początku układu O. Wówczas również mamy 2A=A+A oraz A jest zbiorem zbalansowanym

Przykład 2. Niech A⊂R. Niech A= [-2,-1]∪[1,2], wówczas 2A≠A+A, bowiem                  2A=[-4,-2] ∪[2,4], zaś A+A=[-4, 4]. Oczywiście zbiór A nie jest zbalansowany, nie należy bowiem do niego otoczenie punktu 0.

Przykład 3. Niech A⊂R2. Niech A=[0, 1]×[0, 1], wówczas 2A=A+A= [0,2]×[0, 2].

Przykład 4. Niech A⊂R2. Niech A={(x,y): x2+y2≤1}, wówczas 2A={(x,y): x2+y2≤22}. A co ze zbiorem A+A ? Podejrzewam, że 2A=A+A. Ale jak to udowodnić?

Dowód poniżej.

Dowód: Aby to wykazać wystarczy dokonać przesunięć zbioru A o każdy wektor [x, y], którego współrzędne  spełniają warunek: x2+y2=1. Wówczas   środek każdego przesuniętego zbioru A (koła) znajdzie się na okręgu   x2+y2=1 (w punkcie brzegowym wyjściowego zbioru A). Zbiór wszystkich w ten sposób przesuniętych kół (okręgów) ma wspólny punkt O(0, 0). Stanowi zatem pęk kół o promieniu r=1, których suma teoriomnogościowa szczelnie wypełnia zbiór A+A={(x,y): x2+y2≤22}.  Można dodać, że brzeg zbioru A+A jest obwiednią tego pęku kół (okręgów).

 

 

Na rysunku powyżej pęk złożony z 8 regularnie rozłożonych kół pokrywa prawie całkowicie obszar kola {(x, y): x2+y2≤4}. Aby pokrył go całkowicie ilość takich regularnie rozłożonych kół musi dążyć do nieskończoności…

Przykład 5. Niech A⊂R2. Niech A={(x,y): x∈[0, 1] i y=0} ∪{(x,y): x=0 i y∈[0, 1]}.

Wówczas 2A= A1+ A2, gdzie A1={(x,y): x∈[0, 2] i y=0}, zaś A2={(x,y): x=0 i y∈[0, 2]}.  A co ze zbiorem A+A ? Otóż, A+A= A1+A2 +C. gdzie C=[0, 1]×[0, 1]. Zatem 2A ≠A+A. Ale oczywiście 2A⊂A+A.

Z kolei rozpatrzmy zbiory 3A={(x,y): x∈[0, 3] i y=0}∪{(x, y): x=0 i y∈[0, 3]}, zaś  zbiór

 B3= A+A+A widać poniżej:

Wreszcie rozpatrzmy zbiór 4A=={(x,y): x∈[0, 4] i y=0}∪{(x, y): x=0 i y∈[0, 4]}, zaś zbiór

B4= A+A+A+A widać poniżej:

 

 

Przykład 6. Niech A⊂R3. Niech A={(x,y,z): x2+y2≤z2} czyli jest to pełny stożek (matematyczny). Oczywiście A jest zbalansowany i 2A=A .

A teraz żart. Mamy 2A=A, czyli po skróceniu stronami przez A otrzymamy 2=1. Ha,ha, ha…

Z kolei A+A=R2. Dlaczego? Weźmy dowolny element (a,0,c) nie należący do naszego stożka,                                                                                                                                                          czyli a2+ 02> c2. Ale elementy-wektory (1,0,1) i (1,0,–1)  należą do A i są liniowo niezależne. Zatem istnieją skalary α i β takie, że α(1,0,1)+β(1,0,-1)=(a,0,c) i a2> c2. Odpowiada to rozwiązaniu układu równań: α+β=a,  α–β=b. Stąd α=(a+b)/2, zaś β=(a-b)/2. Np. dla elementu mamy (5,0,3)=4(1,0,1)+1(1,0,–1). A przecież oba elementy (4,0,4) i (1,0,–1)  należą do naszego zbioru A.

Ponieważ stożek jest bryłą obrotową podobne rozważania możemy przeprowadzić dla dowolnego punktu (a,y,c) ∈R3 takiego, że  a2+y2> c2.

 Zatem rzeczywiście A+A = R3.

Uwaga. Jeżeli  za zbiór A przyjmiemy tylko górny stożek A1 (lub dolny A2) dla z≥0 (lub z≤0), to dla obu tych stożków zachodzi 2A1 =A1+A1 (2A2= A2+A2). Ale ani A1 ani A2  nie są zbalansowane.