Mozaika geometrycznych wrażeń.

 Konstrukcje bez użycia linijki

Były to czasy jeszcze przed telefonią komórkową, przed umieszczonymi   nad naszymi głowami na stacjonarnych orbitach satelitami i wprowadzeniem systemu GPS.

Żył w tych szczęśliwych czasach koziołek Matołek ulubieniec całych rzesz młodocianych czytelników – wśród nich i mnie – i jego rozliczne przygody spisane przez Kornela Makuszyńskiego przyprawiały nas o mocniejsze bicie serca. Pamiętam ucieczkę Koziołka (przed…..lwami, krokodylem?) po tęczy, Na kolorowych rysunkach Mariana Walentynowicza wyglądało to trochę jak na rysunku poniżej.

Koziołek znajduje się w punkcie P2 i biegnąc po tęczy znajdzie się po drugiej stronie góry.

 

Niech to będzie ilustracją dla następującego zadania geometrycznego.

Zadane punkty P i P1 wyznaczają prostą. Jak za pomocą samego cyrkla (bez pomocy linijki!) znaleźć punkty tej prostej położonej po drugiej stronie góry (przeszkody)? Potrzebne jest nam najpierw  znalezienie punktu P2 należącej do tej prostej i dostatecznie oddalonego od przeszkody. Jak to uczynić?

Z punktów P i P1 promieniem r = długości odcinka P1P zakreślamy dwa luki do przecięcia się w punkcie A. Podobnie z punktów A i P1 znajdujemy punkt B, zaś z punktów B i P1 znajdujemy szukany punkt P2.

 

Uwaga 1. Nauczyliśmy się podwajać odcinek (oczywiście można to zrobić w obie strony)

Uwaga 2. W ten sposób „siatką” trójkątów równobocznych (a właściwie tylko zbiorem ich  wierzchołków) można pokryć całą płaszczyznę!

Oczywiście, same boki nie są narysowane, założyliśmy bowiem, że nie używamy  linijki. Taki „parkietaż” pokrywa całą płaszczyznę siecią niewidzialnych linii (np. poziomych). Czy można zagęścić tę „siatkę”? Otóż można, już za chwilę nauczymy się jak znajdować środki dowolnego odcinka!

Na rysunku powyżej widać inną możliwość osiągnięcia celu. Mając punkty A i C kreślimy z nich dwa łuki o promieniu równym AC przecinające się w punkcie P2 .

 

Jeżeli okazałoby się, że promień „tęczy” jest zbyt mały, aby ominąć przeszkodę można znajdować (konstruować) bardziej odlegle punkty od punktu P jak P3 , P4 itd. Uzyskujemy wtedy odcinki PPk o długościach 3a, 4a. itd.

Po narysowaniu okręgu naszej tęczy punkt Q symetryczny do punktu P2  (ewentualnie Pk) względem P znajdujemy odmierzając po łuku „tęczy” 3 krotnie promień okręgu. Konstrukcję tę już poznaliśmy konstruując sześciokąt foremny (str.xx). Zresztą da się ją dostrzec na rysunkach 2 i 3.

Zobaczmy inną konstrukcję bez „tęczy”. Trochę będzie to przypominać wieżę oblężniczą

lub dźwig portowy (budowlany?). Myśliwi mogą sobie wyobrazić, że siedzą na tzw. ambonie i czekają na ukazanie się dzika, lub innego zwierza.

Zbudowaliśmy platformę F, F1, F2, F3, F4,  F5 itd. (konstrukcję punktów F2, F3, F4,  F5 itd. już znamy, więc jej nie powtarzałem)

Punkty F3, F4,  F5 (itd.) znajdują się już po drugiej stronie góry i spuszczając się po linie (gdybyśmy ją mieli!) bez trudu osiągnęlibyśmy cel. Jak to zrobić za pomocą cyrkla?

Z punktu F2 zakreślamy łuk F2 Q o promieniu d(F, P3) = d(P2 F1) =4a, zaś z punktu F4 łuk F4Q o promieniu d(P F1) = d(P1 F) = 2a√3. I punkt Q jest znaleziony!

Alternatywę daje konstrukcja tzw. trójkąta egipskiego! Trójkąt o bokach 3, 4, 5 to jedyny trójkąt prostokątny, którego długości boków są kolejnymi liczbami naturalnymi. Nazywa się go trójkątem egipskim, ponieważ był używany przez Egipcjan do wyznaczania kąta prostego w terenie.

A teraz trochę utrudnienia. Przeszkoda nie jest już zwykłą górą, ale ścianą o grubości a „sięgającą nieba” z małą szczeliną (otworem) o szerokości (średnicy) równej ε. Jak w takich warunkach – tylko przy użyciu cyrkla – znaleźć punkt Q leżący na prostej L(P1,P)?

(rozwiązanie na str.)

A teraz zapowiedziany problem: jak za pomocą samego cyrkla znaleźć środek odcinka.

W tym celu zapoznamy się z  interesującym przekształceniem – zwanym inwersją.