11.1. Dowód (prawie rysunkowy), że funkcja Cantora nie jest bezwzględnie ciągła i że wykres jest krzywą prostowalną o długości 2.
Dowód (prawie rysunkowy), że funkcja Cantora nie jest bezwzględnie ciągła i że wykres jest krzywą prostowalną o długości 2.
https://pl.wikipedia.org/wiki/Ciągłość_bezwzględna
Konstrukcja iteracyjna funkcji Cantora
Wykresy kolejnych trzech iteracji są w trzech kolorach:
f1 w kolorze czarnym
f2 w kolorze brązowym
f3 w kolorze niebieskim
Rys.1
Poniżej definiujemy ciąg funkcji ciągłych {ƒn} na przedziale jednostkowym, zbieżny do funkcji Cantora.
Niech ƒ0(x) = x.
Następnie dla każdej liczby całkowitej n ≥ 0, kolejną funkcję ƒn+1(x) wyrażamy za pomocą ƒn(x) następująco:
Niech ƒn+1(x) = 0.5 × ƒn(3x), dla 0 ≤ x ≤ 1/3;
(*) Niech ƒn+1(x) = 0.5, dla 1/3 ≤ x ≤ 2/3;
Niech ƒn+1(x) = 0.5 + 0.5 × ƒn(3 x − 2), dla 2/3 ≤ x ≤ 1.
Powyższe trzy przyporządkowania są zgodne w punktach granicznych 1/3 oraz 2/3, gdyż ƒn(0) = 0 i ƒn(1) = 1 dla każdego n, poprzez indukcję. Można sprawdzić, że ƒn jest zbieżne punktowo do funkcji Cantora zdefiniowanej powyżej. Ponadto zbieżność ta jest jednostajna. W szczególności rozdzielając na trzy przypadki zgodnie z definicją dla ƒn+1 dostrzegamy, że:
Jeśli ƒ oznacza funkcję graniczną, to wnioskujemy że dla każdego n ≥ 0
Z ostatniego warunku wynika zbieżność jednostajna ciągu fn do f na I = [0.1].
Ponadto zwrócić należy uwagę, że wybór funkcji początkowej nie jest istotny, zakładając że ƒ0(0) = 0, ƒ0(1) = 1 oraz, że ƒ0 jest ograniczona.
Nie mniej przy naszym założeniu (f0(x) = x) mamy tę korzyść, że wszystkie funkcje fn są ciągłe i monotoniczne. To (jak sądzę) daje nam gwarancję, że funkcja graniczna f jest też monotoniczna. I że jest ciągła (wynika to z jednostajnej zbieżności ciągu fn).
Wykres diabelskich schodów nie jest samopodobny, natomiast jest samoafiniczny.
Widać to wyraźnie na rysunku 2.
Wykres funkcji w przedziale [1,1/3] otrzymujemy z wykresu funkcji z przedziału [0.1] przez przekształcenie afiniczne x’ = x/3. y’ = y/2 , co wynika z opisu konstrukcji iteracyjnej (*).
Rys. 2 (k=1)
Rysunek powyższy ilustruje kilka własności ciągu iteracyjnego funkcji {fk} i samej funkcji granicznej, czyli funkcji Cantora.
Na prostej poziomej o równaniu y=1 mamy (od prawej do lewej) w punktach Kk((2/3)k,1) odpowiadających kolejno współrzędnym x wypisane malejące wartości pk = (2/3)k
dla k=0,1,2,3,4,5….
Czyli równe:1, 2/3, 4/9, 8/27, 16/81, 32/243, … (2/3)k,…itd.
Punkty te są połączone z punktem O odcinkami leżącymi na prostych o równaniach y=mx,
gdzie m przyjmuje odpowiednio wartości 1/ pk , czyli : 1, 3/2, 9/4, 27/8, 81/16, 243/32, …,(3/2) k,… itd.
Wartości 1- pk to suma długości „podestów” , czyli poziomych odcinków w k-tej iteracji, zaś samo pk to suma długości odcinków, na których wykres funkcji fk jest odcinkiem o współczynniku nachylenia m = (3/2)k
Krzywa prostowalna – krzywa, której długość da się obliczyć, co oznacza, że istnieje dla niej granica ciągu długości łamanych wpisanych w tę krzywą coraz bardziej ją przybliżających, nazywana długością krzywej.
Punkty O i K należą do wykresu funkcji Cantora, zatem zerowe przybliżenie L0 jej długości określa długość odcinka OK i jest to √2
Punkty OABK należą do wykresu funkcji Cantora zatem przybliżenie L1 jej długości określa suma długości odcinków OA, AB, BK. A ponieważ BK=AK1 oraz AB=K1K, więc L1=OK1+K1K
Punkty OCDABEFK należą do wykresu funkcji Cantora zatem przybliżenie L2 jej długości określa suma długości odcinków OC, CD, DA, AB, BE, EF, FK.
A ponieważ DA=CA1, BE=A1E1 oraz FK= E1K2, więc OK2=OC+DA+BE+FK= √(1+(p2)2)
Podobnie K2K=CD+AB+EF = 1-p2
I mamy: L2=OK2+K2K= √(1+(pk)2) + 1-pk
Ogólnie mamy: Lk=OKk+KkK = √(1+(pk)2) + 1-pk
Przy k rosnącym do nieskończoności pk dąży do zera, zaś Lk dąży do L=2
[Ponieważ długość pk dąży do zera, to długość OPk dąży do jedności oraz PkK dąży do jedności. Zatem długość każdej z krzywych wykresu fk jako suma tych wielkości dąży przy k dążącym do nieskończoności do 2.]
Dowód (przez kontrprzykład).
Przypomnijmy definicję bezwzględnej ciągłości funkcji.
Niech I będzie przedziałem na prostej R. Funkcja
jest bezwzględnie ciągła na jeżeli dla każdej liczby dodatniej ∑|yk-xk| = istnieje liczba dodatnia δ taka, że o ile skończony ciąg parami rozłącznych podprzedziałów [xk, yk] przedziału I spełnia
to
Jak wiemy przy k rosnącym do nieskończoności wielkość pk dąży do zera. A zatem dla dowolnego (małego) δ>0 znajdzie się takie k. że 0<pk< δ. Wtedy wiemy (widzimy na rys. 2), że istnieje skończony ciąg parami rozłącznych podprzedziałów , takich, że ∑|yk-xk| = pk< δ , ale jednocześnie ∑|f(yk)-f(xk)| = 1, a więc nie jest mniejsze od dowolnego (malego) ε >0. A zatem wymagania definicji nie mogą być spełnione. c. b. d. o.