2.1. Symetria rozumiana szerzej

Symetria rozumiana szerzej

 

Zwykle pojęcie symetrii… Zwykle… Ale ma być szerzej, czyli nie zwykle.

Czy szerzej znaczy inaczej? Może, ale  po kolei…

Rysunek motyla z rozłożonymi skrzydłami ma oś symetrii, obraz człowieka też.

 

 

 

Figura geometryczna zwana kwadratem ma 4 osie symetrii, natomiast koło ma ich nieskończenie wiele.

Można zaryzykować twierdzenie, że jeśli figura ma dokładnie dwie osie symetrii, to są one prostopadle do siebie. Więcej, że figura ta ma środek symetrii.

A teraz weźmy trójkąt równoboczny, ma on 3 osie symetrii.

Grupa symetrii trójkąta równobocznego składa się z sześciu przekształceń : przekształcenia identycznościowego I (który można traktować jako obrót o kąt 0° lub   360°), dwóch obrotów U i V dokoła środka trójkąta o kąty 120°  i 240° oraz trzech symetrii P, Q, R względem prostych p, q i r zawierających wysokości trójkąta.

Dla ustalenie uwagi niech będą to obroty w kierunku przeciwnym do kierunku obrotu wskazówek zegara; obrót w tym kierunku, jak wiemy, uważa się  w matematyce, za dodatni (obrót w przeciwnym kierunku – zgodnym z kierunkiem obrotów wskazówek zegara – za ujemny)

Obroty:    I  (o  kąt 0°),  U (o kąt 120°)  i  V(o kąt 240°)

                  I                                                                  U                                                                   V

Poniżej  symetrie  P, Q i R względem kolejnych prostych zawierających wysokości trójkąta:

               P                                                                  Q                                                                            R

Jak każdej grupie skończonej działaniom grupowym (które w tym przypadku są przekształceniami) można przypisać odpowiadającą im tabliczkę Cayleya:

a) jedna podgrupa trzyelementowa obrotów złożona z {I, U i V} z taką oto tabliczką Cayleya:W grupie tej znajdują się podgrupy (przemienne):

Widać, że jest to grupa przemienna (abelowa) , o czym świadczy symetryczność (względem głównej przekątnej) jej tabliczki Cayleya.

W szczególności UV=VU=I, bo złożenie obrotu o 120° i obrotu o 240° daje w sumie 360°.

Z kolei UU=V  (bo 120° + 120° = 240°) i VV=U (bo 240°+240°= 120° mod 360°), i z podobnych względów VV=U.

 

1. b) trzy podgrupy dwuelementowe symetrii osiowych: {I,Q}, {I,P} i {I,R}. Ich tabliczki Cayleya są bardzo proste (poniżej pierwsza z nich; w pozostałych wystarczy odpowiednio zmienić literę Q na P lub R):

 

Uwaga. Liczbę elementów grupy G nazywamy jej rzędem i oznaczamy przez ιGι. Jeśli grupa ma skończoną liczbę elementów, to nazywamy ją grupą skończoną.

Są one cykliczne, bo Q²=I  (także P²=I oraz R²=I)

Zauważmy, że liczności (2 i 3) powyższych podgrup  grupy sześcioelementowej są dzielnikami liczności grupy.

Wynika to z ogólnej zasady mówiącej, że:

Rząd podgrupy jest dzielnikiem rzędu grupy

Każda para ze zbioru elementów {Q,P,R} generuje naszą grupę. Np. biorąc elementy P, R otrzymujemy z nich pozostałe elementy Q oraz I, U, V:

PR=V,   VP=Q  czyli  PRP=Q,

RP=U, PP=RR=I.

Natomiast w podgrupie trzyelementowej {I,U,V} generatorem jest zbiór jednoelementowy {U} lub {V}, bo:

U²=V, U³=I , albo V²=U, V³=I.

Z powyższego wynika, że podgrupa {I,U,V} jest grupą cykliczną.

Jak widać, najmniejszy wykładnik k taki, że U^k =I jest rzędem grupy cyklicznej.

Grupa (czwórkowa) Kleina – najmniejsza niecykliczna grupa abelowa.

Jednym z jej przykładów (terminy reprezentacja lub model są w matematyce zarezerwowane dla innych pojęć!!) jest grupa przekształceń rombu. Składa się ona z:

I – przekształcenia tożsamościowego (identycznościowego),

A – symetrii względem osi pionowej

B – symetrii względem osi poziomej

C – obrotu względem środka symetrii o 180°.

                                    I                                                                                    A

                                      B                                                                                  C

 

Zapisując przekształcenia I, A, B, C za pomocą permutacji otrzymamy:

Innym przykładem grupy czwórkowej jest grupa symetrii prostokąta (ale nie kwadratu,  który tworzy bogatszą grupę).

Mówimy, że grupy symetrii rombu i prostokąta są izomorficzne.

 

DEFINICJA

Niech(G₁,∗₁) i (G₂,∗₂) będą grupami.  Funkcję f: G₁→G₂ nazywamy izomorfizmem grup, jeżeli jest bijekcją i spełniony jest warunek, że dla każdego x, y∈G₁ zachodzi

f(x ∗₁ y) =f(x) ∗₂ f(y).

Jeżeli istnieje izomorfizm f: G₁→G₂, to grupy G₁ i G₂ nazywamy izomorficznymi, co będziemy oznaczać przez G₁ ≅ G₂.

W izomorfizmie grup symetrii rombu i prostokąta oba dzialania ∗₁  i  ∗₂   są identyczne – są  skladaniem symetrii.

Oczywiście symetrii rozumianej już szerzej zaliczamy już teraz do niej także przekształcenie identycznościowe ( tożsame), jak i obrót o 180º.

Podobnie rzecz się ma dla kwadratu, którego wszystkie 8 izometrii własnych (symetrie) widać na rysunku poniżej.

 

Podobnie rzecz się ma dla kwadratu, którego wszystkie 8 izometrii własnych (symetrie) widać na rysunku poniżej. Pamiętając, że składanie przekształceń jest łączne, nietrudno sprawdzić, że składając dowolne dwie izometrie kwadratu otrzymamy także pewną jego izometrię. Zatem zbiór {Id, O₉₀, O₁₈₀, O₂₇₀, S_a, S_b, S_c,S_d} wraz z działaniem składania przekształceń jest grupą. Elementem neutralnym jest przekształcenie identycznościowe Id.

 

Oznaczmy: Id=e,  , O₉₀= g, S_a =h.

Nasza grupa   {{Id, O₉₀, O₁₈₀, O₂₇₀, S_a, S_b, S_c,S_d}, ⊗} ma generator dwuelementowy {g, h}.

Ogólnie dla grupy symetrycznej n-kąta foremnego D_n  tabliczka Cayleya wygląda jak poniżej:

Widać, że grupa  _Dn ma generator dwuelementowy {g, h}.

Zobaczmy jak wygląda tabliczka Cayleya dla D₃ (zamiast h piszę s):

Postawmy pytanie. Czy grupa złożona  z cyklicznej podgrupy {e, g, g²} (czyli g³=e} oraz z cyklicznej podgrupy {e, s} (czyli s² = e) ma tabliczkę Cayleya wyznaczoną jednoznacznie? Tak, aby była to grupa D₃?

Najpierw wpiszmy do niej rzeczy wiadome:

 

Podstawowe pytanie – to takie: jakim elementem jest złożenie  s⊗g?

Nie może być, że s⊗g równa się e, g lub g², bo te elementy grupy występują już w tej kolumnie tabelki (e występuje też we wierszu).

Nie może być, że s⊗g =s, bo to znaczyłoby, że g=e wbrew założeniu.

Pozostają dwa przypadki:

*)    s⊗g = g⊗s = gs

**)   s⊗g = g²s

W pierwszym przypadku oznaczałoby, że nasza grupa jest abelowa, a wiadomo, że tak nie jest.

Pozostaje drogą eliminacji przypadek drugi, w którym nie ma przemienności działania (grupa nieabelowa).

Reszta jest już w miarę prosta!

Korzystając z wyniku (**) i prawa łączności dla działania grupowego ⊗ wyliczamy wartości kilku z pozostałych działań:

s⊗g²=sg⊗g=g²s⊗g=g²(s⊗g) = g²⊗g²s= gs

gs⊗gs=g (s⊗g)s=g(g²s)s=g³s²=e

g²s⊗g²s=g²(s⊗g)gs=g²(g²s)⊗gs= g³⊗gs⊗gs =gs⊗gs=e

s⊗g²s= sg²⊗s = gs⊗s=g, bo sg²=gs i s²=e

I tak dalej.

Przy okazji warto wreszcie wspomnieć o trzech rzeczach:

1.  O elementach odwrotnych: s^-1=s oraz g^-1= g²
2.  Ogólnym prawie: (ab)^-1=b^-1a^-1
3.  O rozwiązywaniu równań typu:

g₁⊗x=g₂  ⇔  (g₁)^-1⊗g₁⊗x=(g₁)^-1⊗g₂    ⇔ x = (g₁)^-1⊗g₂

oraz

x⊗g₁=g₂    ⇔  x⊗g₁⊗(g₁)^-1= g₂⊗(g₁)^-1     ⇔ x = g₂⊗(g₁)^-1

Powróćmy do przypadku abelowego, tzn. gdy

(**)     s⊗g = g⊗s = gs.

Wtedy tę grupę charakteryzuje (opisuje) tabelka Cayleya widoczna poniżej:

Na koniec sprawdzimy czy tabliczka poniżej opisuje jakąś grupę

Okazuje się, że nie opisuje. Czyli nie każdy kwadrat łaciński (taka tabelka n×n, że w każdym wierszu i w każdej kolumnie są różne elementy z ustalonych n elementów) przedstawia tabliczkę Cayleya jakiejś grupy. Tabliczka taka jak powyżej prowadzi bowiem do sprzeczności, jeżeli zaczniemy sprawdzać prawo łączności grupy.  Sprawdzamy:

Z tabelki odczytujemy, że  g²s⊗s= g, zaś z prawa łączności wynika g²s⊗s= g²(s⊗s) = g². Czyli oczywista sprzeczność.