Kwadratura koła.

Kwadratura koła to problem męczący matematyków od czasów sięgających co najmniej starożytnych Greków.
Od czasów wielkiego Everysta Galoisa wiadomo na pewno, że metodami klasycznej geometrii , tj. przy użyciu tylko cyrkla i linijki, konstrukcji kwadratu o polu równym polu kola wykonać się nie da. Tym nie mniej konstrukcje przybliżone były tworzone. Teraz zapoznamy się z jedną z takich konstrukcji – konstrukcją podaną przez hinduskiego geniusza Ramanujana.
Prześledzimy tworzenie tej konstrukcji* na poniższym rysunku.
Niech para punktów A i B tworzy średnicę okręgu o środku w O i promieniu r. Niech punkt M dzieli AO na połowę, zaś punkt T dzieli OB w stosunku 2:1. Kreślimy z punktu T półprostą prostopadłą do AB przecinającą okrąg w punkcie P. Z punktu B kreślimy cięciwę BQ o długości. równej TP. Kreślimy cięciwę AQ. Rysujemy odcinki OS i TR równolegle do BQ. Kreślimy cięciwę AD o długości równej AS oraz styczną do okręgu w punkcie A. Niech odcinek AC na tej stycznej równa się SR. Połączmy punkt B z punktami C oraz z D. Na odcinku BD zaznacz punkt E taki, że długość odcinka BE równa się długości BM. Na odcinku BC znajdujemy punkt X taki, że odcinek EX jest równoległy do odcinka DC

Kwadrat zbudowany na odcinku BX ma prawie dokładnie pole kola K(O,r). Gdyby średnica kola była rzędu 60 km, błąd będzie niewiele większy niż pół centymetra kwadratowego (w oryginale: „the error being less than a tenth of an inch when the diameter is 40 miles long”).
Sprawdźmy to. W obliczeniach korzystać będziemy z twierdzeń Pitagorasa i Talesa (lub z równoważnej mu proporcji w figurach podobnych, czy też, jak kto woli, z jednokładności) oraz z faktu, że kąt wpisany w okrąg oparty na średnicy jest prosty.
AB=2r, MB=3r/2, TB=r/3,
BQ=TP= (r2-(2r/3) 2) 1/2=(r√5)/3
AQ=(AB2-QB2)1/2= ((2r)2– 5r2/9)1/2 =(r√31)/3
AS=AQ/2==(r√31)/6 =AD
DB= (AB2-AD2)1/2=(4 r2-31r2/36)1/2=(r√113)/6
XB/CB=BE/BD => XB =CB⋅BE/BD = r (355/113)1/2 =r √(355/113)
Warto wypisać rozwinięcie dziesiętne liczby (355/113) i porównać z rozwinięciem dziesiętnym liczby П:
α=355/113= 3,1415929203539 …
П=3,1415926535897 …
Policzmy błąd względny: (α-П)/П ≅ 2667642/31415926535897≅1/1177666
Warto tu nadmienić, że Chińczycy już w V wieku używali przybliżonych wzorów na П=22/7 lub dokładniejszego pojawiającego się tutaj П=355/113.

*Opisana tu konstrukcja została po raz pierwszy opublikowana w pracy Srinivasy Ramanujana Modular Equations and Approximations to π, „Quarterly Journal of Mathematics” 1914, no. 45, p.350-372.

http://ramanujan.sirinudi.org/Volumes/published/ram06.pdf
Przedrukowano je w książkach S.Ramanujan Collected Papers i Alfred S. Posamentier, Ingmar Lehmann – Liczba π. Biografia najbardziej tajemniczej liczby na świecie, 2016, Prószyński i S-ka.