Długość obwodu okręgu metodą Ramanujana*

Niech para punktów A i B tworzy średnicę okręgu o środku w O i promieniu r. Niech punkt C dzieli półokrąg ACB na połowę, zaś punkt T dzieli AO w stosunku 1:2. Z punktu B kreślimy cięciwę BC i na niej zaznaczamy dwa punkty M i N takie, że CM=AT, zaś CN=2AT. Narysujmy odcinki AM i AN. Na odcinku AN odłóżmy odcinek AP równy długości AM. Z punktu P kreślimy półprostą równoległą do cięciwy BC i przecinającą odcinek AM w punkcie Q. Narysujmy odcinek OQ i z punktu T narysujmy półprostą równoległą do OQ i przecinającą odcinek AM w punkcie R. Na stycznej do okręgu w punkcie A odłóżmy odcinek AS o długości AR. Połączmy punkt S ze środkiem okręgu.

Średnia geometryczna między odcinkami OS i OB. to prawie dokładnie szósta część obwodu okręgu O(O,r). Gdyby średnica będzie miała długość ponad 10 tysięcy km, to błąd nie przekroczy ćwiartki centymetra. (w orginale: „the error being less than a twelfth of an inch when the diameter is 8000 miles long”).
To naprawdę niezwykła dokładność!
Prześledźmy to dokonując odpowiednich przeliczeń. W obliczeniach korzystać będziemy z twierdzeń Pitagorasa i Talesa (lub z równoważnej mu proporcji w figurach podobnych, czy też, jak kto woli, z jednokładności) oraz z faktu, że kąt wpisany w okrąg oparty na średnicy jest prosty.
AB=2r, AT=r/3, AC=CB=r√2,
AM= (AC2 +CM2)1/2= (2r2 +r2/9)1/2= (r√19)/3
AM= (AC2 +CN2)1/2= (2r2 +4r2/9)1/2= (r√22)/3
AP=AM,
AQ/AM=AP/AN => AQ=(AM⋅AP)/AN=19 r2/9)/ (r√22)/3= =19r/(3√22)
AR=AQ/3=AS,
SO= (AO2 +AS2)1/2 =(r2 +192r2/(81⋅22))1/2=

=(r/9)⋅((1782+361)/22)1/2= (r/9)⋅√(2143/22)
Policzmy teraz średnią geometryczna między odcinkami OS i OB: OB=r, zatem   (SO⋅OB)1/2=(r/3)⋅(2143/22)1/4

Przypomnijmy ideę konstrukcji odcinka o długości równej średniej geometrycznej długości odcinków a i b.Na rysunku powyżej  mamy trójkąt prostokątny ACB z punktem D będącym spodkiem wysokości CD. Jeżeli AD=a, DB=b, to długość odcinka CD (wysokości)_jest równy średniej geometrycznej długości odcinków a i b. Rzeczywiście z podobieństwa trójkątów ADC i CDB mamy : AD/CD=CD/DB, czyli a/h=h/b.

A to oznacza, że:  h= (a·b)1/2

Przyrównując otrzymaną wartość z 1/6 obwodu okręgu otrzymamy:
2Пr/6 ≅ (r/3)⋅(2143/22)1/4
Stąd П ≅ (2143/22)1/4 = (92+192/22)1/4 ≅ 3.14159265262. . . .

Chińczycy już w V wieku używali przybliżonych wzorów na П=22/7 lub П=355/113.
Wreszcie jeszcze jedno przybliżenie Ramanujana:
П ≅ 99⋅7/(80(7−3√2)) ≅ 3.14159274 …

Wszędzie tu pojawia się tajemnicza liczba 11 (lub jej wielokrotność) – ulubiona liczba Ramanujana (zobacz funkcja τau Ramanujana; przeze mnie też hołubiona – zobacz: Liniaki)

*Opisana tu konstrukcja została po raz pierwszy opublikowana w pracy Srinivasy Ramanujana Modular Equations and Approximations to π, „Quarterly Journal of Mathematics” 1914, no. 45, p.350-372.
http://ramanujan.sirinudi.org/Volumes/published/ram06.pdf
Przedrukowano je w książkach S.Ramanujan Collected Papers i Alfred S. Posamentier, Ingmar Lehmann –Liczba π. Biografia najbardziej tajemniczej liczby na świecie, 2016, Prószyński i S-ka.