Współmierność i niewspółmierność odcinków

 

DEFINICJA

Dwa odcinki nazywamy współmiernymi, jeżeli istnieje taki trzeci odcinek, który w obu danych odcinkach mieści się całkowitą liczbę razy.

Nasuwa się teraz pytanie: czy każde dwa odcinki są współmierne, czy też istnieją odcinki niewspółmierne, tzn. takie, dla których nie można znaleźć takiego trzeciego odcinka, który mieściłby się dokładnie całkowitą liczbę razy zarówno w jednym, jak i w drugim? Na to pytanie wkrótce znajdziemy odpowiedź, tymczasem zastanówmy się, co mówi nam intuicja. Wydaje się, że możemy w razie potrzeby dobrać tak mały odcinek d, aby mieścił się on całkowitą liczbę razy w obu odcinkach, a zatem każde dwa odcinki są współmierne. Tak właśnie w starożytnej Grecji zapatrywali się na tę sprawę członkowie szkoły pitagorejskiej w początkowym okresie jej rozwoju. Niestety ku ich zaskoczeniu znaleźli prosty przykład zadający kłam tej idei. Okazało się, że w dowolnym kwadracie jego bok i przekątna nie są współmierne! Jak to wykazać?  

                      Posługując się metodą dowodu ad absurdum, czyli sprowadzania do niedorzeczności, załóżmy wbrew dowodzonej tezie, że jednak są współmierne.

    Zamiast mówić o odcinkach w kwadracie można mówić o boku (przyprostokątnej) trójkąta prostokątnego równoramiennego i jego przeciwprostokątnej. Zatem w odcinku OC ma mieścić się n małych odcinków o długości d, czyli OC=nd. Z kolei w odcinku BC ma mieścić się m małych odcinków o długości d, czyli BC=md. Przyjrzyjmy się krotnościom tych odcinków, czyli liczbom naturalnym n i m

 

   Trójkąty prostokątne równoramienne BOC i ABC są podobne -podobieństwo o skali s= .

Zachodzi zatem proporcja:

Oczywiście AC=2OC. Stąd

Dzieląc stronami przez d i mnożąc na „krzyż”, otrzymujemy

(*)            m2=2n2.

Skorzystajmy z następującego twierdzenia:

PODSTAWOWE TWIERDZENIE ARYTMETYKI

Każdą liczbę naturalną większą od 1, nie będącą liczbą pierwszą, można jednoznacznie przedstawić w postaci iloczynu liczb pierwszych.

Jednoznaczność rozkładu oznacza, że jeśli liczba naturalna jest przedstawiona jako iloczyn pewnych liczb pierwszych na dwa sposoby, to oba iloczyny zawierają te same czynniki i w tej samej ilości, a różnią się jedynie ich kolejnością. Na przykład:  1200=5∙2∙ 2∙ 5∙2∙ 2∙3 =2∙5 ∙2∙3∙2∙2∙5

 Zwykle czynniki pierwsze danej liczby grupuje się od najmniejszych do największych, czyli: 1200= 24∙3∙52

Z powyższego twierdzenia wynika natychmiast, że

a) jeżeli liczba m jest nieparzysta, to równość (*) jest sprzeczna (lewa strona nieparzysta, prawa zaś będzie parzysta).

b) jeżeli zaś liczba m jest parzysta, to bez względu na parzystość lub nieparzystość liczby n, potęgi przy czynniku 2 (świadczące o krotności jego wystąpienia) byłyby różne ( z lewej strony potęga parzysta, z prawej – nieparzysta) z obu stron równości (*), co nie ma prawa mieć miejsca.

Uwaga. W zasadzie, oba przypadki a) i b) sprowadzają się do tego, iż potęgi przy czynniku 2 nie mają (a powinny mieć!) tego samego stopnia po obu stronach równania.

Z powyższego wywodu wynika, że założenie o współmierności odcinków – boku kwadratu i jego przekątnej – było fałszywe. A zatem te dwa odcinki są niewspółmierne.

Odkrycie tego faktu na tyle zszokowało członków szkoły pitagorejskiej, że przez pewien czas próbowali trzymać ten fakt w tajemnicy (sic!).  

 

A teraz pytanie: Jak sprawdzić, czy dwa odcinki a i b, o których zapewniają nas, że są współmierne, są nimi w istocie? Oczywiście, wystarczy znaleźć odcinek d, którego te odcinki są wielokrotnością.

Można też zadać inne pytanie: Niech długości dwóch odcinków wyrażają się liczbami wymiernymi. Znaleźć liczbę, której te długości są wielokrotnością.

Najpierw popatrzmy na liczby. Niech długość a=313/48, zaś długość b=7/89. Sprowadźmy te dwa ułamki do wspólnego mianownika, czyli

a=313∙89/(48∙89), b=7∙48/(48∙89). Oznaczmy d=1/(48∙89), wówczas

a=313∙89d= 27857d, zaś b=7∙48d=336d czyli są współmierne jako wielokrotności odcinka o długości d.

Ogólnie, niech a=p/q, zaś b=w/v. Wtedy dla d=1/(qv), mamy a=vp∙d, b=wq∙d. Wróćmy do naszego pytania geometrycznego: jak geometrycznie znaleźć odcinek d taki, że dwa dane odcinki a i b są jego wielokrotnością?

Okazuje się, że problem prawie pokrywa się z problemem znalezienia największego wspólnego dzielnika liczb 27857 i 336, albo w przypadku ogólnym liczb vp i wq, gdzie p,g,v,w ∈ ℕ). A tym, jak wiemy, zajmuje się algorytm Euklidesa (zobacz dział TEORIA LICZB).

Przyjmijmy, że długość odcinka a jest większa od długości odcinka b.

Odkładając odcinek b na odcinku a raz albo kilka razy (oznaczmy tę ilość przez k) otrzymamy sytuację, gdy pozostały odcinek ma długość mniejszą (oznaczmy tę długość przez r) niż długość odcinka b.

Możemy zatem napisać równość: a=kb+r, a stąd r=a-kb Ale ponieważ a=sd, zaś b=td, otrzymujemy:    r= d(s-kt)>0.  Widać zatem, że odcinek o długości d mieszczący się całkowitą ilość razy w odcinkach o długości a i b  mieścić się też musi całkowitą ilość w odcinku o długości r

Z kolei mając dwa odcinki b i r (b>r) powtarzamy proces odkładania mniejszego   odcinka r na odcinku b otrzymując odcinek mniejszy od r (oznaczmy go przez  r1).

I znowu dla dwóch odcinków r i r1  ( r < r1) powtarzamy procedurę.

Otrzymamy ciąg odcinków a>b>r> r1  >…> rn

Procedurę powtarzamy aż otrzymamy rn =0. Sytuacja ta ma miejsce, gdy rn-2 =m∙rn-1, tzn. gdy odcinek o długości rn-1 mieści się całkowitą ilość (m∈ℕ) razy w odcinku o długości rn-2.

Ostatecznie szukany odcinek ma długość d= rn-1

Oczywiście, zaprezentowaną tu procedurę można zastosować również dla odcinków niewspółmiernych. Rzecz w tym, że dla odcinków współmiernych procedura ta kończy się po skończonej ilości kroków, zaś dla niewspółmiernych nie kończy się i powtarza się w nieskończoność, a zatem jest niekonstruktywna.