Twierdzenie Pitagorasa

Twierdzenie to jest bez wątpienia najsłynniejszym twierdzeniem w matematyce. O jego znaczeniu świadczyć może ilość jego znanych różnych dowodów. Na początku XX wieku pewien profesor o nazwisku Elisha Scott Loomis zebrał i opublikował 367 z nich.

Pragnę przytoczyć tylko 3 z nich.

Z pierwszym zetknąłem się w znanej książce Lilavati -S. Jeleńskiego. Wyglądało to tak:

                                                                    Patrz!

 

Rzeczywiście można bez trudu zobaczyć (i wyliczyć), że suma częściowych pól wypełniających duży kwadrat o boku c daje

(b-a)2 + 4ab/2 =a2 + b2,

A zatem   c2 = a2 + b2        c. b. d. o.

 

Drugi dowód poznałem w szkole średniej.

Mamy trójkąt prostokątny ABC o kącie prostym ACB. Wysokość spuszczona z wierzchołka C tworzy dwa nowe trójkąty prostokątne o kątach prostych przy punkcie D podobne do trójkąta ABC.

Z podobieństwa trójkątów ABC i ACD otrzymujemy

AC/AB = AD/AC, czyli

*  b2=AD∙c

Z podobieństwa trójkątów ABC i BCD otrzymujemy

CB/AB = DB/CB, czyli

**  a2=DB∙c.

Dodając stronami równości * i ** otrzymamy  a2+ b2=c(DB+AD)= c2        c. b. d. o.

 

Przy okazji z podobieństwa prostokątnych trójkątów ACD i BCD otrzymujemy AD/CD=CD/DB. Czyli

CD2 = h2=AD∙DB= b′∙a′ (jeżeli miarę rzutu przyprostokątnej AC na przeciwprostokątną oznaczymy przez  b′, zaś miarę rzutu przyprostokątnej BC oznaczymy przez a′).

 

Wreszcie trzeci dowód jest następujący:

   Zauważmy, że jeżeli pole trójkąta ABC oznaczymy przez S, to

1)              S1+S2 = S.

Układ „trójkąt ABC i kwadrat o boku c”, jest podobny do „układu trójkąt ADC i kwadrat o boku a”, zaś stosunek pól

2)   S1/ S = a2/c2, skąd     S1= S∙a2/c2.

Analogicznie mamy

3)   S2/ S = b2/c2, skąd     S2 =S∙b2/c2.

Wstawiając wartości z 2) i 3) do 1) otrzymujemy

S= S(a2+ b2)/c2, czyli

c2= a2 + b2           c. b. d. o.

W tym dowodzie oparliśmy się na fakcie, że w każdym  z tych trzech „ukladów” stosunek pola trójkąta do odpowiadającemu mu pola kwadratu jest stały.