4.3. Zbiory liczbowe i ich wzajemne zawierania

Zbiory liczbowe i ich wzajemne zawierania

Zbiór liczb naturalnych oznaczamy literką ℕ,  zbiór liczb całkowitych – literką ℤ (od niemieckiego Zahle – liczba), zaś zbiór liczb wymiernych – literką ℚ.

 

Dobrym przykładem stosowania relacji równoważności jest następujący sposób definiowania liczb całkowitych i liczb wymiernych.

Niech a₁,b₁,a₂,b₂ ∈ ℕ, wówczas relacja R₁ = ~_ℤ taka, że R₁⊆ ℕ × ℕ określona jako (a₁,b₁)~_ℤ (a₂,b₂) ⇔ (a₁-b₁)= (a₂-b₂)

ℤ= (ℕ × ℕ)/ ~_ℤ .

Zbiór liczb całkowitych ℤ  jest zatem klasą abstrakcji powstałą jako przestrzeń ilorazowa  ℤ =( ℕ×ℕ)/ ~_ℤ.              Rysunek poniżej:

Każda liczba całkowita jest tożsama z klasą abstrakcji uporządkowanych par liczb naturalnych zdefiniowaną jak powyżej.

Rozpatrzmy teraz zbiór par (a_i, b_i) takich, że a₁, a₂ ∈ ℤ,  b_1i, b₂ ∈ ℤ \ {0},

Określmy relację  R₂=~_ℚ ⊆ ℤ ×ℤ \ {0}, (a₁,b₁)~_ℚ (a₂,b₂) ⇔ (a₁/b₁)= (a₂/b₂) ⇔(a₁b₂= a₂b₁)

Zbiór liczb wymiernych ℚ jest zatem klasą abstrakcji powstałą jako przestrzeń ilorazowa  ℚ=( ℤ ×ℤ \ {0})/ ~_ℚ,              Rysunek poniżej:

 

Każda liczba całkowita jest tożsama z klasą abstrakcji uporządkowanych par liczb naturalnych zdefiniowaną jak powyżej.

 

Zaliczanie do jednej klasy abstrakcji  wielkości dających tę samą  różnicę dla uporządkowanych par dwóch liczb naturalnych jest bardzo naturalne. Potrzeba zdefiniowania klasy liczb całkowitych wynikła bowiem z potrzeby tworzenia różnic dla dowolnych par liczb naturalnych. Dla pary (12, 7) różnica wynosi 12-7=5 i wynik odejmowania mieści się w zbiorze liczb naturalnych, ale dla pary (8,17) wynik różnicy 8-17= -9 już nie należy do zbioru ℕ. Stąd wynikła potrzeba rozszerzenia zbioru ℕ do zbioru ℤ.

Podobnie zaliczanie do jednej klasy abstrakcji  wielkości dających ten sam stosunek (wynik dzielenia czyli ułamek) dla uporządkowanych par dwóch liczb naturalnych jest bardzo naturalne. Potrzeba zdefiniowania klasy liczb wymiernych wynikła bowiem z potrzeby tworzenia ułamków dla dowolnych par liczb naturalnych. Dla pary (12, 3) stosunek daje liczbę 4 i ten wynik dzielenia mieści się w zbiorze liczb całkowitych, ale dla pary (-8,17) wynik  -8/17  już nie należy do zbioru ℤ. Stąd wynikła potrzeba rozszerzenia zbioru ℤ do zbioru liczb wymiernych ℚ.

W rezultacie otrzymaliśmy ciąg rozszerzeń: ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ.

Zbiory te wraz z naturalnymi (arytmetycznymi) działaniami dodawania, odejmowania, mnożenia i dzielenia tworzą coraz bogatsze struktury algebraiczne: monoid, pierścień i ciało.