Przydatność liczby zespolonych

Pewnego razu przed laty, gdy na Politechnikę Warszawską nie można było się  dostać tylko dzięki dobrym ocenom na maturze, trwał egzamin ustny dla kandydatów na te studia. Jeden z kandydatów prezentował się dość słabo i jeden z egzaminujących go profesorów postanowił zadać mu proste, jak mu się zdawało, rozstrzygające pytanie. Brzmiało ono: „Czy sinus może przyjmować wartość większą niż 1?”  Kandydat na studenta wyjąkał niepewnie: „No, to zależy…”.  „W takim razie dziękujemy już Panu” rzekł egzaminator nie czekając na dalszą część wypowiedzi kandydata i zakończył egzamin.

Po wyjściu egzaminowanego z sali egzaminator z satysfakcją zwrócił się do profesora Edwarda Otto – przewodniczącego egzaminu: „Tym razem sprawa jest oczywista…”. „Rzeczywiście, zupełnie oczywista” – przerwał mu profesor Otto – „musimy go przepuścić!”. „Ale dlaczego? ” – zdziwił się pechowy egzaminator. „Nie pozwolił mu Pan dokończyć odpowiedzi, a przecież w dziedzinie zespolonej sinus może przyjmować wartości większe od 1 i być może, ten fakt miał on na uwadze mówiąc : to zależy.  A ponieważ teraz już tego nie rozstrzygniemy, musimy wątpliwość  zasądzić na korzyść kandydata”.

Tak oto istnienie liczb zespolonych przesądziło o losie kandydata, który, być może, nigdy o nich nie słyszał!

A swoją drogą – pechowy egzaminator – mógł bronić swojej decyzji. Sinus w dziedzinie zespolonej przyjmuje wartości zespolone, a relacja większa-mniejsza nie ma sensu w  dziedzinie zespolonej! Zapis sin z=2 ma sens, ale sin z >1 sensu nie ma. Trochę to dziwne…

Spróbujmy dowiedzieć się czegoś więcej o tych dziwnych (s)tworach…

 

Liczba zespolona pojawiła się po raz pierwszy przy okazji rozwiązania równań.

Po raz pierwszy pojęcie liczb zespolonych wprowadził w XVI wieku włoski matematyk Girolamo Cardano, nazywając je „fikcyjnymi”, podczas prób znalezienia rozwiązań równań sześciennych.

Aby mówić o liczbach zespolonych – najpierw wprowadzimy pojęcie jednostki urojonej i, tj. pierwiastka równania kwadratowego x2+1=0.  Liczbę √-1 oznaczamy literką i.

Możemy zatem powiedzieć, że i  jest to taka liczba, że podniesiona do kwadratu daje -1. czyli i2= -1 (lub i2 +1 = 0) .

Pomnożona przez dowolną liczbę rzeczywistą b nadal będzie nazywana liczbą urojoną. Jeżeli do takiej liczby dodamy dowolną liczbę rzeczywistą a, to taką sumę a+bi nazywamy już liczbą zespoloną.

Rozwiążmy równanie kwadratowe x2+2x+2=0.

Jest ono równoważne równaniu (x+1)2+1=0

Oznaczając x+1=z, otrzymamy równanie o znanej już postaci z2+1=0;

Stąd, jak już wiemy, z=i.   A że  x+1=z, zatem x=-1+i.

Otrzymaliśmy rozwiązanie równania x2+2x+2=0 w postaci liczby zespolonej!

Chyba zatem umiemy już posługiwać się liczbami zespolonymi!!

Liczby zespolone rozszerzają koncepcję jednowymiarowej osi liczbowej do dwuwymiarowej płaszczyzny zespolonej, wykorzystując oś poziomą do oznaczenia liczb rzeczywistych, a pionową do oznaczenia liczb urojonych. Liczba zespolona postaci  a+ bi może być określona z wykorzystaniem współrzędnych ( a , b ) na płaszczyźnie zespolonej.

Na rysunku powyżej mamy zaznaczone dwie liczby z1=2+2i oraz z2 = 0,4+0,8i

Na tych liczbach można wykonywać wszystkie cztery działania arytmetyczne: dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie. Liczby zespolone tworzą bowiem ciało liczbowe.