8.1. Przestrzeń Banacha
Przestrzeń Banacha
Przestrzenie unormowane pojawiają się w naturalny sposób w analizie matematycznej oraz innych działach matematyki takich jak, na przykład, rachunek prawdopodobieństwa czy równania różniczkowe. Szczególnie istotne z punktu widzenia szeroko pojętych zastosowań są przestrzenie Banacha, tzn. przestrzenie unormowane mające pewną szczególną własność związaną z ich strukturą metryczna: zupełność.
Definicja
Niech X będzie przestrzenią liniową nad ciałem K liczb rzeczywistych bądź zespolonych. Odwzorowanie ||∙||: X → [0, ∞) nazywa się normą w przestrzeni X, jeśli dla wszystkich elementów x, y ∈ X i skalarów α ∈ K spełnia następujące warunki:
- niezdegenerowania
∥ x ∥ = 0 ⇒ x = 0 ;
- dodatniej jednorodności
∥ α x ∥ = | α | ∥ x ∥
- nierówności trójkąta
∥ x + y ∥ ≤ ∥ x ∥ + ∥ y ∥ .
Przestrzeń X z określoną normą ||∙|| nazywa się przestrzenią unormowaną.
Definicja
Niech X oznacza dowolny niepusty zbiór. Metryką w zbiorze X nazywa się funkcję
d: X×X→[0, ∞),
która dla dowolnych elementów tego zbioru spełnia warunki
- identyczność nierozróżnialnych
d ( a , b ) = 0 ⟺ a = b
- symetria
d ( a , b ) = d ( b , a )
3. nierówność trójkąta
d ( a , b ) ≤ d ( a , c ) + d ( c , b )
Gdy d jest metryką w zbiorze X, to parę (X, d) nazywa się przestrzenią metryczną,
- elementy zbioru X nazywa się punktami,
- liczbę d ( a , b ) nazywa się odległością punktu a od punktu b.
W przestrzeni unormowanej X wzór d(x, y)= ||x-y|| dla x,y ∈ X indukuje metrykę na przestrzeni X.
Definicja
Niech X będzie przestrzenią metryczną i niech
będzie ciągiem elementów tej przestrzeni. Spełnia on warunek Cauchy’ego wtedy i tylko wtedy, gdy
Przestrzeń metryczna zupełna – przestrzeń metryczna, w której każdy ciąg Cauchy’ego jej punktów jest zbieżny; tzn. przestrzeń metryczna zawierająca granicę dowolnego ciągu Cauchy’ego punktów tej przestrzeni.
Przestrzenią Banacha nazywamy przestrzeń unormowaną, która jest zupełna w metryce zadanej przez jej normę, tj. każdy ciąg Cauchy’ego jest w niej zbieżny.