Równania różniczkowe

 

Czym różni się równanie różniczkowe od zwykłego równania? Otóż, rozwiązaniem jego jest nie liczba, a funkcja (albo klasa funkcji)!

Ogólnie równaniem różniczkowym nazywamy równanie, w którym występuje związek funkcji niewiadomej i jej pochodnych. Rząd równania różniczkowego jest równy największemu rzędowi występujących w nim pochodnych.

Rozwiązanie równania różniczkowego polega na znalezieniu funkcji y=y(x), która spełnia to równanie. Na przykład równanie różniczkowe  y′′+ y′ =0, ma ogólne rozwiązanie w postaci funkcji

           y=A cos x + B sin x,

gdzie A i B są dowolnymi stałymi (można je wyznaczyć, jeśli znamy tzw. warunki brzegowe)

 Równania różniczkowe dzielimy na:

równania różniczkowe zwyczajne, w których szukamy funkcji jednej zmiennej oraz

równania różniczkowe cząstkowe, w których szukamy funkcji wielu zmiennych.

Istnieją metody rozwiązywania równań różniczkowych pewnych szczególnych typów, jednak wiele równań różniczkowych nie ma rozwiązań, które dałyby się wyrazić w postaci jawnej. W praktyce matematycznej często ważniejszą informacją od samej postaci rozwiązania jest informacja o jego istnieniu (gdyż nie każde równanie różniczkowe musi je mieć). W przypadku równań różniczkowych o których wiadomo że mają rozwiązanie, często (szczególnie w zastosowaniach) wystarczające jest znalezienie rozwiązania przybliżonego (np. stosując metodę aproksymacji). Obecnie prowadzi się wiele badań nad kolejnymi schematami rozwiązywania równań różniczkowych, ponieważ mają one wiele zastosowań praktycznych. Przy wielu uniwersytetach powstają specjalne katedry równań różniczkowych zajmujące się praktycznie tylko szukaniem rozwiązań kolejnych przełomowych równań.

9.1.

9.2.

9.3.

9.4.