1. ⋅  LOGIKA  I  PODSTAWY MATEMATYKI

1.1. Zadanie logiczne (w krwawej oprawie… i błotnej…)

1.2. Zbiory przeliczalne i nieprzeliczalne

1.3. Algorytm i schemat blokowy

1.4. Relacje i funkcje

  1.   ALGEBRA

2.1.  Symetria rozumiana szerzej

2.2.

  1.   GEOMETRIA

3.1. Kwadratura koła.

3.2. Długość obwodu okręgu metodą Ramanujana

3.3. Mozaika geometrycznych wrażeń.  Konstrukcje bez użycia linijki

3.4 Pseudohelisa, czyli prawie podwójna linia śrubowa

3.5. Współmierność i niewspółmierność odcinków

3.6. Twierdzenie Pitagorasa

 

  1.   TEORIA LICZB

4.1. Pozycyjne potęgowe systemy liczbowe

4.2. Dlaczego liczby pierwsze są coraz rzadsze?

4.3. Zbiory liczbowe i ich wzajemne zawierania

4.4. Złote twierdzenie czyli ( twierdzenie) o wzajemności reszt kwadratowych

4.5. Chińskie twierdzenie o resztach

4.6. Funkcja τ  (tau) Ramanujana

 

  1.   ANALIZA. RACHUNEK RÓŻNICZKOWY I CAŁKOWY

5.1. Interesujące zadanie ponadgimnazjalne

5.2. Punkt fermata w Rn czyli układ równowagi (n+1) wersorów

5.3. Liczba π i  zasada Cavalieriego

 

  1.    FUNKCJE ZESPOLONE

6.1. Przydatność liczb zespolonych

6.2.

 

  1.   TEORIA MNOGOŚCI I TOPOLOGIA

7.1. Tarski i „Stomachion” – Archimedesa

7.2,

 

  1.   ANALIZA FUNKCJONALNA

8.1. Przestrzeń Banacha

8.2. Przestrzeń liniowa (wektorowa) nad ciałem K

Rys.1

 

  1.   TEORIA RÓWNAŃ RÓŻNICZKOWYCH

9.1.

9.2.

 

  1.   RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA

10.1.

10.2.

 

  1.   FRAKTALE

11.1. Dowód (prawie rysunkowy), że funkcja Cantora nie jest bezwzględnie ciągła i że wykres jest krzywą prostowalną o długości 2.

 

 

 

„Liniaki” zamieszkują linie. Linie mogą być różne, w szczególności może to być linia prosta. Siedliska liniaków nie zabierają dużo miejsca, Każdemu z nich wystarcza jeden punkt. Dopiero szyk (liniowy) ich siedlisk tworzy linię*!

 Społeczeństwa liniaków są na różnych stopniach rozwoju cywilizacyjnego.

W zasadzie prowadzą życie kontemplacyjne. Wielu z nich należy do szanownego grona filozofów. Wybitni ci filozofowie zdają sobie sprawę, jak wszechstronne i ważne funkcje pełnią LINIE stanowiące ich świat.

Rzeczywiście, trudno odmówić liniom znaczenia w rozwoju świata idei. Wystarczy wspomnieć o liniach frontu, liniach demarkacyjnych itp.

Wśród tych ostatnich dla nas Polaków pamiętne być winny: linia Curzona* i linia Focha*.

http://pl.wikipedia.org/wiki/Linia_Curzona

http://pl.wikipedia.org/wiki/Linia_Focha

Obecnie cały świat często – z niepokojem – spogląda na linię demarkacyjną między Północną i Południową Koreą.

Ciekawe są linie brzegowe: zbiorników wodnych (akwenów), państw, itp.

Nie wszystkim znany jest tzw. paradoks linii brzegowej. Długość linii brzegowej zależy od tego, jaką metodą się ją mierzy. Zwykle wpisujemy w linię brzegową wielobok o ustalonej długości boków. Długości tych boków (kroki pomiarowe) można obrać arbitralnie i nie widać powodu dla których jedne miałyby być lepsze od innych Mogą one wahać się od ułamków milimetrów do setek kilometrów.. Gdy linia brzegowa jest gładka, co raz mniejsze kroczki prowadzą do pewnej skończonej wartości granicznej, którą nazwiemy długością linii. Jeżeli jednak linia nie jest gładka, ale wręcz „poszarpana” i to w każdej skali, to proces mierzenia linii brzegowej odcinkami różnych długości daje różne wyniki, a nawet obliczana długość może dążyć do nieskończoności

Paradoks linii dobrze ilustruje konstrukcja matematyczna tzw. krzywej Kocha, zwanej też  płatkiem Kocha (zobacz ….)

Jeszcze ważniejszą rolę grają  LINIE PODZIAŁU. Niektóre podziały polityczne są dość bolesne. Podziały między Polakami, na zwolenników PiS-u i PO. Koszmar i totalna głupota. Żałosne…

Dla szachistów ważne znaczenie ma w końcówkach pionkowych tzw. linia Przepiórki!

Mój przyjaciel i mentor (pisarski) Tomasz Lissowski (współautor) napisał piękną biografię Dawida Przepiórki : T. Lissowski, J. Konikowski, J. Moraś – Mistrz Przepiórka, Warszawa 2013.

Wróćmy do linii prostych. Dzięki Kartezjuszowi (i Dedekindowi!), który wprowadził pojęcie współrzędnej punktu,  te punkty, miejsca stałego zameldowania „liniaków”- czyli ich siedliska – mają adresy. Adresem może być nazwa (współrzędna) punktu na prostej.

Nazwy mogą odpowiadać nazwom liczb, jeśli prostą potraktujemy jako oś liczbową.

Dlatego odtąd często będę nazywać liniaki nazwami liczb odpowiadające ich adresom.

Jako matematyk wiem sporo o liczbach. Dzięki temu wiem sporo o „liniakach”. W  szczególności o wzajemnym położeniu ich siedlisk. Moja praca dyplomowa z roku 1965. nosiła tytuł: „Zupełność teorii „leżenia między” przez kategoryczność w mocy”. KATEGORYCZNIE  i z pełną MOCĄ stwierdzam, że podczas pisania tej pracy nawiązałem przyjacielskie kontakty z liniakami i w ZUPEŁNOŚCI  zapoznałem się z ich wzajemnymi relacjami a szczególnie z relacją  „leżenia między”. Sądzę, że prowadzący moją pracę profesorowie Andrzej Mostowski i Andrzej Grzegorczyk mogliby to potwierdzić.

 

Wtedy to w pewien kwietniowy wieczór odbyłem ciekawą pogawędkę z liniakiem zamieszkującym pod adresem 11. Należy on do dostojnego klanu liczb pierwszych. Był to nieśmiały, choć dumnie noszący się młody liniak, może trochę zakompleksiony, Być może jedną z przyczyn tego był fakt, że w jego bliskim sąsiedztwie pod adresem 10 i 12 mieszkały pewne siebie liniaki chlubiące się znaczeniem swoich liczb w świecie trójprzestrzeniaków. Liczba 10 jest podstawą powszechnie stosowanego systemu pozycyjnego używanego do zapisu liczb. Ale i liczba 12 służy czasami do tego celu. Deprymował go fakt, że w obu tych systemach kryterium podzielności dowolnej liczby naturalnej przez 11 wyraża się bardzo prosto (patrz 4.1.). To powodowało, że czul się nieustannie śledzony przez sąsiadów. Miał poczucie ograniczonej intymności.  Próbowałem go przekonać, że w podobnej sytuacji jest każda liczba naturalna. Zdawałem jednak sobie sprawę , że moje wywody nie zmienią  faktu, że system dziesiątkowy i dwunastkowy cieszą się szczególną popularnością.

 System dziesiętny* dobrze znamy, ale system dwunastkowy także jest używany (i ma swoje tradycje): 12 – to tuzin, 60 to kopa, zaś 122 = 144 – to gros), rok dzieli się na 12 miesięcy, doba na 2 razy po 12 godzin, godzina na 60 minut, minuta na 60 sekund. pełen obrót (kąt pełny) to 360 stopni (zobacz też angielskie miary i miary babilońskie)

Podzielność liczby naturalnej przez 11 łatwo zbadać w obu tych systemach liczbowych:

W systemie dziesiętnym różnica sum co drugich cyfr musi być wielokrotnością 11.

W systemie 12-stkowym wystarczy, że suma „cyfr” dzieli się przez 11 (pamiętając, że istnieją cyfry „10” i „11” – zobacz 4.1.).

Mój przyjaciel, będę go nazywał „jedenastakiem”, czuł się trochę osamotniony, mimo że 13 formalnie jest jego partnerem w klanie liczb bliźniaczych.

Niedawno dowiedziałem się, że „jedenastak” też ma inne swoje matematyczne tajemnice.

Związana jest ta tajemnica z nazwiskiem Ramanujana (zobacz ……). Właściciel tego nazwiska to tajemniczy, genialny hinduski matematyk żyjący w latach (1887 – 1920). Mawiał, że bogini Namagiri zsyła mu natchnienie, wzory i wyniki w snach

Kiedyś „jedenastak” wyznał mi, że słyszał  o tajemniczej  damie zamieszkującej pod nietypowym adresem √2, w której zakochał się bez pamięci. Zalety tej damy to jej niewymierność, ale nie można było  zarzucić jej przestępności*. Najpierw postanowił zgłębić tajemnicę jej niewymierności, potem badając problem przestępności poszerzał swoje wiadomości w zakresie teorii liczb i algebry. Z oczywistych naturalnych względów planimetria i stereometria były mu całkowicie obce.

Próbowałem mu przybliżyć te pojęcia, ale jego wyobraźnia nie mogła przebić się przez tajnię wyższego, obcego mu wymiaru.  

 

Liniaki kochają podróże. Zwykle są to nieśpieszne spacery. Nieśpieszne, bo jako istoty niezbyt pokaźne posuwają się małymi kroczkami o wielkości wielokrotnie mniejszej od stałej Plancka!??)

W nowych czasach (cywilizacyjnego postępu) technologia XX wieku zaczęła wkraczać i do ich świata. Przynajmniej do linii moich znajomych, Udało im się zelektryfikować linię! Korzystają z prądu stałego, który jest przepuszczany w jednym, lub drugim kierunku. W ten sposób uzyskali coś na kształt metra (cube, subway), którego wagoniki to swobodne elektrony. Uzyskiwane szybkości też nie są banalne. Albowiem, jak wiemy, średnia szybkość unoszenia elektronów  w przewodach elektrycznych wynosi 3cm/sek. To daje 1,8 metra na minutę czyli ponad 100 metrów na godzinę. Dla mikroskopijnych liniaków to szybkość oszałamiająca. Tymczasem młodzi i zapaleni do techniki „liniaki” próbują zwiększyć tę szybkość. Jako wagoników chcą użyć fotony. Niektórym marzy się wykorzystanie zjawiska nadprzewodnictwa.

Ostatnio mój znajomy liniak 11 stal się nieco tajemniczy. Podobno odwiedził swoją boginię liczbę  √2, która widząc jego gorące uczucie. przekazała mu uroczyście swoje miniaturki. W międzyczasie dowiedział się, że jego bogini pokryła całą linię siatką swoich macek o adresach {n√2/m}… To go mocno zmroziło. Ale powiedziałem mu, żeby nie demonizował, i że teoria spiskowa jest tu zupełnie nie na miejscu. Jest bowiem faktem matematycznym, że w pierścieniu* {m+n√2}, gdzie m, n są liczbami całkowitymi znajduje się zarówno on 11, jak i jego wybranka √2.

Oboje należą też do ciała liczbowego* {k/p+n√2/m}. gdzie k, p, m, n są dowolnymi liczbami całkowitymi, przy warunku  p ≠0 i m≠0

W starej, zamierzchłej (i zapomnianej!)  kulturze sięgającej czasów przed babilońskich znana była liczbom („liniakom”) sztuka „teleportacji multiplikatywnej”. Każda liczba (oprócz zera, ale zero na szczęście w ów czas nie było jeszcze znane) potrafiła zwinąć się sama w sobie do jedynki i rozwinąć na dowolną liczbę będącą celem końcowym procesu teleportacji. Oczywiście, teraz wiadomo już, że z 1 można się teleportować i do zera, ale stamtąd nie ma już odwrotu, To jest jak CZARNA DZIURA. Jak samobójstwo. Zero jest w stanie pochłonąć wszystko i to po wielokroć, Jest ono pod tym względem absolutnie NIENASYCONE. Tym bardziej trzeba się trzymać od niego jak najdalej…

No cóż, znowu zapędziłem się w wydumane niesamowitości. Naprawdę bowiem zero to wielce poczciwa liczba ułatwiająca liczenie. Bez niej nie umielibyśmy w sposób prosty dokonać wielu obliczeń. Współczuć należy matematykom i rachmistrzom z czasów Imperium Rzymskiego, kiedy to pojęcie zera (liczby) nie było znane. Do nowożytnej Europy dostało się  ono dzięki Arabom!

Mało tego, mając do dyspozycji jedynkę i zero można korzystając z techniki „teleportacji addytywnej”* zwiedzić całą oś liczbową od jej najdalszych kresów półosi ujemnej, po najdalsze kresy półosi dodatniej. 

Na marginesie ciekawe twierdzenie, które znalazłem w monografii Wacława Sierpińskiego – Teoria liczb. Część II na str.89:

  1. Dowieść, że jeżeli dla liczb naturalnych a, b, c liczby a2+b2, a2+b2, a2+b2 są kwadratami, to jedna co najmniej z liczb a, b, c jest podzielna przez 11.(Kraitchik, Scripta Mathematica 11 (1945), str.317)

W ostatnich czasach moje kontakty z liniakami i z moim przyjacielem „jedenastakiem” nieco poluzowały się. Boję się też czy opisane tu moje wynurzenia będą przez niego dobrze przyjęte….