Pochodna funkcji

5.1. Pochodna funkcji

Pojęcie pochodnej ściśle związane jest z pojęciem stycznej do krzywej. Z kolei styczna związana jest z pojęciem siecznej i cięciwy. Sieczna jest to prosta przecinająca daną krzywą w co najmniej dwóch punktach. Odcinek siecznej ograniczony punktami przecięcia z krzywą nazywa się cięciwą tej krzywej. Na rysunku poniżej prosta L przecina krzywą w dwóch punktach P i Q.

Prosta L nie jest styczna do tej krzywej w punkcie Q, zaś jest styczna w punkcie P. Czym różnią się te dwa przypadki. Popatrzmy na rysunek poniżej.

Przez punkt P poprowadzono pęk prostych (siecznych) przecinających krzywą w punktach Q, Q₁, Q₂, Q₃, …. Punkty Q_i dla i= 1,2 3,…. przesuwają się po krzywej w kierunku punktu P w taki sposób, że długości odpowiadającym im cięciw PQ_i dążą do zera i jednocześnie proste sieczne L(PQ_i) dążą do pokrycia się z prostą L. Tę prostą L nazywamy prostą styczną do krzywej w punkcie P.

Mówimy, że styczną do krzywej w punkcie P jest prosta, będąca granicą siecznych do krzywej przechodzących przez punkty P i Q, gdy Q dąży do P. Granica ta nie zawsze istnieje, ale jej istnienie związane jest z istnieniem pochodnej funkcji wyznaczającej tę krzywą. Opiszmy ten proces analitycznie.

Współczynnik kierunkowy siecznej m_h przechodzącej przez punkty P(x₀, f(x₀)) i Q(x₀+h, f(x₀+h)) jest równy:

Wtedy współczynnik kierunkowy m stycznej L (kolor niebieski na rysunku) w punkcie P jest równy:

Wartość f′(x₀) (o ile istnieje powyższa granica) nazywamy pochodną funkcji f w punkcie x₀. Zwykle przyrost zmiennej x oznacza się przez ∆x zamiast przez h.

Najczęstszym zastosowaniem pochodnej funkcji w fizyce jest określenie prędkości chwilowej poruszającego się ciała (punktu) po prostej. Wówczas możemy przez s= f(t) oznaczyć zależność współrzędnej s ustalonego punktu ciała od czasu t. Droga przebyta przez to ciało w przedziale czasu [ t, t+∆t] wynosi ∆s=f(t+∆t) – f(t).

Prędkością średnią na tym odcinku jest wielkość:

Prędkość chwilowa w momencie t jest równa:

Przy oznaczeniu ∆x (zamiast przez h) mówimy, że:

∆x jest przyrostem zmiennej niezależnej x,

∆y = f(x+∆x) – f(x) jest przyrostem zmiennej zależnej y,

zaś wyrażenie

nazywamy się ilorazem różnicowym.

Wreszcie, jeżeli oznaczymy x= x₀+∆x, to pochodną funkcji f w punkcie x₀ można zapisać:

Jeśli funkcja f : (a, b) →ℝ ma pochodną dla każdego elementu swej dziedziny (a, b), to można rozważać odwzorowanie przypisujące każdemu argumentowi x ∈ (a, b), jego pochodną f′(x). Przekształcenie to nazywa się funkcją pochodną funkcji f lub krótko: pochodną f oznaczać ją będziemy symbolem f′. Jest ona również funkcją zmiennej rzeczywistej o wartościach rzeczywistych.

Z kolei można określić pochodną funkcji f′ i oznaczyć ją jako f′′; nazywamy ją drugą pochodną funkcji f. Podobnie można określić pochodne wyższych rzędów: f′′′,f′′′′ itd., a ogólnie n-tą pochodną funkcji f będziemy oznaczać przez f⁽ⁿ⁾.

Wreszcie dla pary funkcji f, f′ wprowadzimy nowe pojęcie: funkcję f nazywamy funkcją pierwotną (po francusku i angielsku – primitive) dla funkcji f′. Ogólnie dla pary funkcji f^(n-1), f⁽ⁿ⁾: funkcję f^(n-1) nazywamy funkcją pierwotną dla funkcji f⁽ⁿ⁾. W rachunku całkowym zwykle oznaczamy przez F funkcję pierwotną funkcji f. Czyli F′ = f .

Własności funkcji pochodnej:

Udowodnimy najbardziej istotną regułę zwaną regułą Leibniza: (f∙g)′=f′∙g + f∙g′

Odejmując i dodając w liczniku wielkość f(x)∙g′(x₀) otrzymamy po przekształceniach

c.b.d.o.

Powyższa reguła liczenia pochodnej iloczynu dwóch funkcji jest bardzo ważna w rachunku różniczkowym i całkowym zawiera bowiem w swej formule zarówno same funkcje, jak i ich pochodne. Ma ona swój odpowiednik w regule całkowania przez części, gdzie występują funkcje całkowane, jak i ich funkcje pierwotne!

Przykłady

Policzmy teraz pochodne kilku funkcji elementarnych;

1) Jeżeli f(x) = c (constans), to f′(x) = 0, bo wprost z definicji zachodzi